[論文レビュー] Resonance index and singular spectral shift function

Nurulla Azamov|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子散乱理論における特異スペクトルシフト関数の跳躍不連続性と共鳴指数の間の明確な関係を確立する。共鳴点において、特異スペクトルシフト関数の跳躍は、上半平面および下半平面におけるメルモルフィック関数の極の数の差に等しくなることを証明し、非自明な特異スペクトルシフト関数の例を、非可約な作用素対に対して提示する。

ABSTRACT

This paper is a continuation of my previous work on absolutely continuous and singular spectral shift functions, where it was in particular proved that the singular part of the spectral shift function is an a.e. integer-valued function. It was also shown that the singular spectral shift function is a locally constant function of the coupling constant $r,$ with possible jumps only at resonance points. Main result of this paper asserts that the jump of the singular spectral shift function at a resonance point is equal to the so-called resonance index, --- a new (to the best of my knowledge) notion introduced in this paper. Resonance index can be described as follows. For a fixed $λ$ the resonance points $r_0$ of a path $H_r$ of self-adjoint operators are real poles of a certain meromorphic function associated with the triple $(λ+i0; H_0,V).$ When $λ+i0$ is shifted to $λ+iy$ with small $y>0,$ that pole get off the real axis in the coupling constant complex plane and, in general, splits into some $N_+$ poles in the upper half-plane and some $N_-$ poles in the lower half-plane (counting multiplicities). Resonance index of the triple $(λ; H_{r_0},V)$ is the difference $N_+-N_-.$ Based on the theorem just described, a non-trivial example of singular spectral shift function is given.

研究の動機と目的

• 特異スペクトルシフト関数の跳躍不連続性を共鳴指数の観点から特徴づけること。
• 複素結合定数平面におけるリゾルベント関連関数の解析的構造とスペクトルシフト関数の振る舞いとの間の関係を確立すること。
• 非可約な自己共役作用素対に対する非自明な特異スペクトルシフト関数の例を構成すること。
• 特徴的クラスの摂動でさえも、特異スペクトルシフト関数が絶対連続スペクトル上で非ゼロであることを示すこと。

提案手法

• リゾルベントの境界値が一様ノルムおよびトレースクラスノルムで存在する正則点の集合 $\Lambda(H_0, F)$ を定義する。
• 絶対連続スペクトル部分空間を記述するための評価作用素 $\mathcal{E}_\lambda$ 及び関連するヒルベルト空間 $\mathfrak{h}_\lambda$ を導入する。
• 共鳴指数を、$\lambda + i0$ を $\lambda + iy$ ($y > 0$) にシフトした後の、メルモルフィック関数の上半平面および下半平面における極の数 $N_\pm$ の差 $N_+ - N_-$ として定義する。
• リゾルベント恒等式およびトレースクラス摂動論を用いて、$1 + rT_{\lambda+i0}(H_0)J$ の極と結合定数 $r$ における共鳴点との関係を導出する。
• ルジン＝プリヴァロフの定理およびコーシー＝シュトラウス変換の性質を用い、主値積分 $\text{p.v.}\int \frac{dF(x)}{x - \lambda}$ がカントール集合 $K$ 上 almost everywhere で非ゼロであることを示す。
• 区間 $[-1,1]$ 内にあり $|K| = 1$ である対称カントール集合 $K$ に台を持つ特異測度 $dF(x)$ を用いて非自明な例を構成し、ほとんど everywhere で $\operatorname{ind}_{\text{res}}(\lambda; H_r, V) = 1$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合定数 $r$ における特異スペクトルシフト関数の跳躍不連続性は、何に依存するか？
• RQ2 複素平面上におけるメルモルフィック関数の極の分布に基づいて、共鳴指数はどのように定義されるか？
• RQ3 非可約な自己共役作用素対に対して、非自明な特異スペクトルシフト関数が存在しうるか？
• RQ4 スペクトル測度の主値積分と共鳴点の存在との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 特異スペクトルシフト関数が絶対連続スペクトル上で非ゼロとなる条件は何か？

主な発見

• 共鳴点 $r_0$ における特異スペクトルシフト関数の跳躍は、三重組 $(\lambda; H_{r_0}, V)$ の共鳴指数 $N_+ - N_-$ に等しい。
• 十分大きな $r > 0$ に対して、$\lambda \in K$ ほぼ everywhere で、共鳴指数 $\operatorname{ind}_{\text{res}}(\lambda; H_r, V) = 1$ であるため、スペクトルシフト関数に非ゼロの跳躍が生じる。
• $K$ 内で共鳴指数が 1 である $\lambda$ の集合は、Lebesgue 測度 $\frac{1}{2}$ を有し、特異スペクトルシフト関数の正の測度な台を保証する。
• 主値積分 $\text{p.v.}\int_{-1}^{1} \frac{dF(x)}{x - \lambda}$ は、$\lambda \in K$ ほぼ everywhere で非ゼロであり、これは共鳴点の存在にとって不可欠である。
• ほとんど everywhere で $\lim_{r \to \infty} \xi^{(s)}(\lambda; H_r, H_0) = \chi_K(\lambda)$ が成り立ち、カントール集合の特性関数に収束することが示される。
• 構成されたペア $(H_0, V)$ は非可約であり、特異スペクトルシフト関数は絶対連続スペクトル $[-1,1]$ 上で非ゼロであり、非自明な例を提供する。