[論文レビュー] Resonances and Spectral Shift Function Singularities for Magnetic Quantum Hamiltonians

Jean‐François Bony, Vincent Bruneau+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、定数磁場を有する3次元磁気シュレーディンガー作用素におけるスペクトルシフト関数（SSF）および共振状態の漸近的挙動を調査する。SSFはランダウ準位において特異性を示し、その主要な漸近的項はコンパクトなベレジン–トーピリッツ作用素を介して記述される。また、これらの特異性は、同一の閾値近傍における共振状態の蓄積と関連づけられ、補完的領域では無限個の共振状態が存在することが証明され、同じ作用素を用いてその漸近的密度が導出される。

ABSTRACT

In this survey article we consider the operator pair $(H,H_0)$ where $H_0$ is the shifted 3D Schrödinger operator with constant magnetic field, $H : = H_0 + V$, and $V$ is a short-range electric potential of a fixed sign. We describe the asymptotic behavior of the Krein spectral shift function (SSF) $ξ(E; H,H_0)$ as the energy $E$ approaches the Landau levels $2bq$, $q \in {\mathbb Z}_+$, which play the role of thresholds in the spectrum of $H_0$. The main asymptotic term of $ξ(E; H,H_0)$ as $E o 2bq$ with a fixed $q \in {\mathbb Z}_+$ is written in the terms of appropriate compact Berezin-Toeplitz operators. Further, we investigate the relation between the threshold singularities of the SSF and the accumulation of resonances at the Landau levels. We establish the existence of resonance free sectors adjoining any given Landau level and prove that the number of the resonances in the complementary sectors is infinite. Finally, we obtain the main asymptotic term of the local resonance counting function near an arbitrary fixed Landau level; this main asymptotic term is again expressed via the Berezin-Toeplitz operators which govern the asymptotics of the SSF at the Landau levels.

研究の動機と目的

• 短範囲ポテンシャルを有する磁気シュレーディンガー作用素のランダウ準位近傍におけるクレインのスペクトルシフト関数（SSF）の漸近的挙動を分析すること。
• SSFの閾値特異性とランダウ準位における共振状態の蓄積との間の関係を確立すること。
• 任意の固定されたランダウ準位近傍における局所的共振状態数関数の主要な漸近的項を導出すること。
• 結果を非定数磁場を有するパウリおよびディラック作用素へと拡張すること。

提案手法

• SSFはリフシッツ–クレインのトレース公式およびビルマン–クレインの公式を用いて分析され、散乱位相および固有値数え上げと関連づけられる。
• ランダウ準位 $2bq$ 近傍におけるSSFの主要な漸近的項は、$q$ 番目のランダウ準位への射影に付随するコンパクトなベレジン–トーピリッツ作用素を用いて表現される。
• 共振状態は、リゾルベント $(H - z)^{-1}$ の無限枚のリーマン面へのメロモルフィックな拡張の極として定義される。
• 各ランダウ準位に隣接する共振状態の存在しない領域の存在が証明され、一方で補完的領域には無限個の共振状態が存在する。
• SSF特異性を支配する同じベレジン–トーピリッツ作用素を用いて、$2bq$ 近傍における局所的共振状態数関数の漸近的特徴づけがなされる。
• 解析は、円筒座標系におけるスペクトル分解と、削減された1次元シュレーディンガー作用素における固有値数え上げを推定するためのミニマックス原理に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギーがランダウ準位に近づく際、スペクトルシフト関数はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 SSFの特異性とランダウ準位における共振状態の蓄積との間の明確な関係は何か？
• RQ3 ランダウ準位近傍には共振状態の存在しない領域が存在するのか？ また、補完的領域にはどの程度の数の共振状態が蓄積するのか？
• RQ4 ランダウ準位近傍における共振状態の漸近的密度は、SSF特異性を支配する同じ作用素を用いて表現可能か？

主な発見

• エネルギー $E \to 2bq$ におけるSSFの主要な漸近的項は、$q$ 番目のランダウ準位への射影に付随するコンパクトなベレジン–トーピリッツ作用素のトレースとして与えられる。
• $2bq$ 近傍における共振状態の存在する補完的領域では、その数が無限大であることが確認され、ランダウ準位における蓄積が裏付けられる。
• $2bq$ 近傍における局所的共振状態数関数の主要な漸近的項は、SSF特異性を支配する同じベレジン–トーピリッツ作用素を用いて表現される。
• SSFの漸近的挙動の結果として一般化されたレヴィンソンの公式が導出され、固有値数え上げとスペクトルシフトが結びつけられる。
• 軸対称的かつ非正のポテンシャルが減少条件を満たす場合、作用素 $H$ は本質的スペクトル内に無限個の埋め込まれた固有値を有し、各ランダウ準位に蓄積する。
• SSFおよび共振状態数関数の漸近的挙動は、リゾルベントの解析的構造に整合し、実軸に関して対称的である。