[論文レビュー] Resonances for 1D half-line periodic operators: II. Special case

Tuan Phong Trinh|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、周期的でない有界ポテンシャルを持つ1次元半直線シュレーディンガー作用素の共鳴を、バンド端 $ E_0 ∈ \partial\Sigma_{\mathbb{Z}} $ の近傍で、スペクトルパラメータ $ a_k \asymp 1/L $ という非一般的状況（標準的手法では扱えなかった）に注目して研究する。複素解析的手法を用い、変換された共鳴方程式と contour 変形を組み合わせることで、$ L \to \infty $ の極限において $ E_0 $ の近傍に共鳴が存在しないことを証明し、非一般的状況における鋭い消失結果を確立する。

ABSTRACT

The present paper is devoted to the study of resonances for a $1$D Schrödinger operator with truncated periodic potential. Precisely, we consider the half-line operator $H^{\mathbb N}=-Δ+V$ and $H^{\mathbb N}_{L}= -Δ+ V1_{[0, L]}$ acting on $\ell^{2}(\mathbb N)$ with Dirichlet boundary condition at $0$ with $L \in \mathbb N$. We describe the resonances of $H^{\mathbb N}_{L}$ near the boundary of the essential spectrum of $H^{\mathbb N}$ as $L ightarrow +\infty$ under a special assumption.\\ The present paper is in a series of our research papers on resonances

研究の動機と目的

• 本質的スペクトルの境界 $ \partial\Sigma_{\mathbb{Z}} $ の近傍における、切り詰められた1次元周期的シュレーディンガー作用素 $ H^\mathbb{N}_L $ の共鳴の分布を分析すること。
• スペクトルパラメータ $ a_k \asymp 1/L $ の非一般的状況（従来の手法では到達できない）を扱うこと。
• この非一般的条件下で、バンド端 $ E_0 \in \partial\Sigma_{\mathbb{Z}} $ の近傍に共鳴が存在しないことを確立すること。
• 標準的手法が失敗するスペクトル境界付近での共鳴方程式を扱うための洗練された複素解析的手法を開発すること。

提案手法

• 共鳴方程式 $ S_L(E) = -e^{-i\theta(E)} $ を、変数変換 $ z = x + iy $、$ y \asymp -1/\varepsilon L $ を用いて新しい関数 $ f_L(z) $ に変換し、$ E_0 $ の近傍での挙動を分析する。
• 固有値と重みを $ \tilde{\lambda}_k = L^2(\lambda_k - E_0) $、$ \tilde{a}_k = L^2 a_k $ でスケーリングすることで、バンド端付近での $ \lambda_k $ と $ a_k $ を再スケーリングする。
• コントゥア変形を用いて $ E_0 $ の周囲の領域 $ \Omega^i $ を分離し、$ f_L $ がこの領域で単射（ユニヴァレンツ）であり、0から離れていることを証明する。
• $ |f_L'(z)| \gtrsim 1 $ および $ \text{Re}f_L(z) \asymp 1 $ の下界を確立し、$ f_L $ が $ \Omega^i $ を $ -e^{-i\theta(E_0)}/L $ を避ける領域に写像することを保証する。
• 共鳴方程式の虚部を制御するため、$ \sum \tilde{a}_k / (\tilde{\lambda}_k - x)^2 + y^2 \asymp 1 $ の漸近的推定を用い、$ \Omega^i $ 内で極が存在しないことを保証する。
• 結論として、$ -e^{-i\theta(E_0)}/L \notin f_L(\Omega^i) $ であるため、共鳴方程式は $ \Omega^i $ 内に解をもたず、$ E_0 $ の近傍に共鳴が存在しないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ a_k \asymp 1/L $ のとき、$ H^\mathbb{N}_L $ の共鳴はバンド端 $ E_0 \in \partial\Sigma_{\mathbb{Z}} $ の近傍に存在するか？
• RQ2 標準的手法では到達できない非一般的状況 $ a_k \asymp 1/L $ において、共鳴解析の手法を拡張可能か？
• RQ3 スペクトル重み $ a_k $ が $ E_0 $ の近傍で指数的に小さくない場合、$ L \to \infty $ の極限における共鳴の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 非一般的条件 $ a_k \asymp 1/L $ の下で、$ E_0 $ の近傍に共鳴が存在しないことを証明可能か？

主な発見

• 十分大きな $ L $ に対して、非一般的仮定 $ a_k \asymp 1/L $ の下で、領域 $ \Omega^i = [E_0, E_0 + \varepsilon_1] - i[0, \varepsilon_2] $ に共鳴は存在しない。
• 変換関数 $ f_L(z) $ は $ \Omega^i $ 上で単射であり、$ |f_L'(z)| \gtrsim 1 $ および $ \text{Re}f_L(z) \asymp 1 $ を満たすため、この領域で共鳴方程式の解は存在しない。
• $ \Omega^i $ における $ f_L $ の像は0から一様に離れているため、$ -e^{-i\theta(E_0)}/L \notin f_L(\Omega^i) $ であり、$ \Omega^i $ に共鳴が存在しないことが示される。
• 漸近的推定 $ \sum_{k=0}^L \frac{\tilde{a}_k}{(\tilde{\lambda}_k - x)^2 + y^2} \asymp 1 $ が $ \Omega^i $ 全体で一様に成り立つため、共鳴方程式の挙動が制御される。
• 条件 $ \varepsilon_1 \asymp \varepsilon^2 $ の下で、領域が十分に小さく、一様推定が可能になる。