[論文レビュー] Resonances in long time integration of semi linear Hamiltonian PDEs

Erwan Faou, Benoît Grébert|ArXiv.org|Apr 9, 2009

Numerical methods for differential equations参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、半線形ハミルトニアンPDEに対する標準的なシンプレクティック積分法が、線形作用素の高周波成分を切り捨てない限り、数値的共鳴に苦しむ可能性があることを示している。周波数カットオフを導入し、分割法を用いることで、鋭いCFL型条件の下で、作用量とソボレフノルムの長時間保存を証明した。これにより、任意の時間ステップにおいて不自然な共鳴が発生しない。

ABSTRACT

We consider a class of Hamiltonian PDEs that can be split into a linear unbounded operator and a regular non linear part, and we analyze their numerical discretizations by symplectic methods when the initial value is small in Sobolev norms. The goal of this work is twofold: First we show how standard approximation methods cannot in general avoid resonances issues, and we give numerical examples of pathological behavior for the midpoint rule and implicit-explicit integrators. Such phenomena can be avoided by suitable truncations of the linear unbounded operator combined with classical splitting methods. We then give a sharp bound for the cut-off depending on the time step. Using a new normal form result, we show the long time preservation of the actions for such schemes for all values of the time step, provided the initial continuous system does not exhibit resonant frequencies.

研究の動機と目的

• 半線形ハミルトニアンPDEの長時間シミュレーションにおいて、中点則やIMEXスキームなどの標準的シンプレクティック積分法が、なぜ数値的共鳴によって失敗するのかを特定すること。
• 時間ステップと固有周波数の非線形関係が、$ h\tilde{\theta} \to 2\tilde{\theta}\tilde{\theta}\tilde{\theta} $ となる $ \tilde{\theta} \neq 0 $ の場合に、保存性の喪失を引き起こす数値的共鳴が生じることを示すこと。
• 線形作用素の高周波モードを事前に切り捨てることで、これらの不自然な共鳴を排除できることを確立すること。
• 時間ステップ $ h $ に依存するカットオフ周波数の鋭い境界を導出し、作用量とソボレフノルムの長時間保存を保証すること。
• 元の系に非共鳴条件が成り立つ場合、修正されたスキームが物理的保存則を人工的共鳴を導入せずに保存することを証明すること。

提案手法

• Soboleフ空間の枠組みにおいて、$ H = H_0 + P $ と形式化し、$ H_0 $ を無限大な線形作用素、$ P $ を正則な非線形項とする。
• 線形作用素 $ H_0 $ のスペクトルに周波数カットオフ $ K $ を導入し、$ |j| > Kh^{-1} $ の場合に $ \tilde{\theta}_j = 0 $ とすることで、高周波成分を排除する。
• 分割法 $ \tilde{\theta}_K(hH_0) \times \text{flow of } P $ を適用し、$ \tilde{θ}_K $ を線形フローの切断版とする。
• 非共鳴条件により有界性を保証するため、小分母 $ |e^{ih\tilde{θ}^h(\boldsymbol{j})} - 1| $ を制御する正準形変換を用いる。
• 固有方程式 $ (e^{ih\tilde{θ}^h(\boldsymbol{j})} - 1)\tilde{θ}_{\boldsymbol{j}} + hZ_{\boldsymbol{j}} = hG_{\boldsymbol{j}} $ の推定を、$ \tilde{θ}^h(\boldsymbol{j}) $ と $ \boldsymbol{j} $ のインデックス構造に依存する形で導出する。
• 正準形の剰余項が $ \tilde{θ}^{r+1} $ のオーダーであることを確立し、初期データが $ \tilde{θ} $ のサイズである場合、$ \tilde{θ}^{-r} $ の時間スケールまで長時間安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中点則やIMEXスキームなどの標準的シンプレクティック積分法は、半線形ハミルトニアンPDEの長時間積分において、数値的共鳴を回避できるか？
• RQ2 CFL条件で制約されない時間ステップ $ h $ を用いたシンプレクティックスキームで、数値的共鳴が生じる原因は何か？
• RQ3 線形作用素 $ H_0 $ の高周波モードを切り捨てることで、分割スキームの長時間挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ4 作用量とソボレフノルムの長時間保存を保証するための、カットオフ周波数 $ K $ の鋭い境界は、時間ステップ $ h $ に対してどのように表されるか？
• RQ5 正準形の議論を用いて、シンプレクティック積分法における非線形位相関係から生じる小分母を制御できるか？

主な発見

• 中点則やIMEXスキームなどの標準的シンプレクティック積分法では、$ h\tilde{θ}^h(\boldsymbol{j}) \to 2\tilde{θ}\tilde{θ}\tilde{θ} $ となる $ \tilde{θ} \neq 0 $ の場合、元の系が非共鳴であっても、数値的共鳴が発生する可能性がある。
• 完全な系に中点則を適用した場合、時間ステップ $ h $ に依存して、物理的保存則が破壊されるか、あるいは人工的共鳴により予期しない形で作用量が保存される。
• 線形作用素 $ H_0 $ を $ |j| > Kh^{-1} $ の周波数で切り捨てることで、不自然な共鳴が排除され、長時間安定性が回復する。
• 時間ステップ $ h $ に依存する鋭い境界 $ K \thicksim h^{-1} $ が導出され、$ K \thicksim h^{-1} $ の場合、初期データが $ \tilde{θ} $ のサイズである限り、作用量とソボレフノルムが $ \tilde{θ}^{-r} $ の時間スケールまで保存される。
• 正準形の固有方程式は、$ |e^{ih\tilde{θ}^h(\boldsymbol{j})} - 1| \thicksim h\tilde{θ}^h(\boldsymbol{j}) $ を満たす場合に解が存在し、これはカットオフ条件と非共鳴仮定の下で成立する。
• 正準形の剰余項は $ \tilde{θ}^{r+1} $ のオーダーであり、変換が $ \tilde{θ}_{\boldsymbol{j}} \notin \tilde{θ}_{\boldsymbol{j}} $ のクラスに留まるため、長時間にわたる制御が保証される。