[論文レビュー] Resonant spaces for volume preserving Anosov flows

Mihajlo Cekić, Gabriel P. Paternain|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元多様体上の体積保存型Anosov流の共振空間の次元を、1次ベッチ数、コhomology類 $[\iota_X\Omega]$、およびヘリシティを用いて計算する。これらの次元が半単純性のもとでPollicott-Ruelle共振多重度と一致することを示し、時刻変更された双曲的測地線流において半単純性が成立しないことを証明するとともに、非自明ホモロジー類を有する変形が半単純性を保つことを示し、リーマンゼータ関数の零次の消失に関する帰結を得る。

ABSTRACT

We consider Anosov flows on closed 3-manifolds preserving a volume form $Ω$. Following Dyatlov and Zworski (2017) we study spaces of invariant distributions with values in the bundle of exterior forms whose wavefront set is contained in the dual of the unstable bundle. Our first result computes the dimension of these spaces in terms of the first Betti number of the manifold, the cohomology class $[ι_{X}Ω]$ (where $X$ is the infinitesimal generator of the flow) and the helicity. These dimensions coincide with the Pollicott-Ruelle resonance multiplicities under the assumption of $ extit{semisimplicity}$. We prove various results regarding semisimplicity on 1-forms, including an example showing that it may fail for time changes of hyperbolic geodesic flows. We also study non null-homologous deformations of contact Anosov flows and we show that there is always a splitting Pollicott-Ruelle resonance on 1-forms and that semisimplicity persists in this instance. These results have consequences for the order of vanishing at zero of the Ruelle zeta function. Finally our analysis also incorporates a flat unitary twist in both, the resonant spaces and the Ruelle zeta function.

研究の動機と目的

• 閉じた3次元多様体上の体積保存型Anosov流に対して、双対不安定バンドルに波フロント集合を有する不変分布の共振空間の次元を計算すること。
• これらの次元が半単純性条件のもとでPollicott-Ruelle共振多重度とどのように関係するかを明らかにすること。
• 特に時刻変更された双曲的測地線流を含む、体積保存型Anosov流における1-半単純性の有効性を調査すること。
• 接触Anosov流の非自明ホモロジー類を有する変形が、共振空間およびリーマンゼータ関数に与える影響を研究すること。
• 平坦なユニタリねじりが共振空間およびゼータ関数に与える影響を分析すること。

提案手法

• 共振空間 $\text{Res}_k(0)$ を、$\mathcal{D}'_{E_u^*}(M;\Omega^k)$ に含まれる $\iota_X$ および $\iota_X d$ によって消える分布として定義する。
• 1次ベッチ数 $b_1(M)$、コhomology類 $[\iota_X\Omega]$、およびヘリシティ $\mathcal{H}(X)$ を用いて $\dim\text{Res}_k(0)$ を計算する。
• 半単純性のもとで $\dim\text{Res}_k(0) = m_k(0)$ であることを証明する。
• 安定・不安定バンドルのホルダー連続性を用いて、時刻変更された双曲的測地線流において1-半単純性が成立しない例を構成する。
• 接触Anosov流の非自明ホモロジー類を有する変形を分析し、半単純性が保たれ、1-形式に分裂型共振構造が現れることを示す。
• ユニットコタンジェントバンドル上で引き戻しと双対性の技法を用いて、平坦なユニタリねじりを共振空間およびリーマンゼータ関数に統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた3次元多様体上の体積保存型Anosov流に対して、共振空間 $\text{Res}_k(0)$ の次元は何か。また、その次元はトポロジー的および力学的不変量にどのように依存するか。
• RQ2 $\text{Res}_1(0)$ の次元が $b_1(M)$ を超える条件は何か。ヘリシティはその役割を果たすか。
• RQ3 一般の体積保存型Anosov流に対して1-半単純性は成立するか。時刻変更された双曲的測地線流においては成立しない可能性はあるか。
• RQ4 接触Anosov流の非自明ホモロジー類を有する変形は、共振構造および半単純性にどのように影響するか。
• RQ5 平坦なユニタリねじりは、共振空間およびリーマンゼータ関数の零次の消失の次数にどのような影響を及ぼすか。

主な発見

• 任意の閉じた3次元多様体上の体積保存型Anosov流に対して、$\dim\text{Res}_0(0) = \dim\text{Res}_2(0) = 1$ が成り立つ。
• $[\iota_X\Omega] \neq 0$ ならば、$\dim\text{Res}_1(0) = b_1(M) - 1$ である。
• $[\iota_X\Omega] = 0$ ならば、$\mathcal{H}(X) \neq 0$ のとき $\dim\text{Res}_1(0) = b_1(M)$、$\mathcal{H}(X) = 0$ のとき $b_1(M) + 1$ である。
• $\text{Res}_k(0)$ の次元は、かつてのみその流が $k$-半単純であるとき、Pollicott-Ruelle共振多重度 $m_k(0)$ と一致する。
• 時刻変更された双曲的測地線流の例として、1-半単純性が成立しないものが存在する。これは安定・不安定バンドルのホルダー連続性に起因する。
• 接触Anosov流の非自明ホモロジー類を有する変形に対しては、1-形式に分裂型共振構造が現れ、1-半単純性が保たれる。