[論文レビュー] Restricted permutations and Chebyshev polynomials

Toufik Mansour, Alek Vainshtein|ArXiv.org|Nov 17, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 56

ひとこと要約

この論文は、特定のパターンを避ける制限付き順列（$Σ_3$ および $Σ_k$ 内のもの）と第二種チェビシェフ多項式の間の深い関係を確立する。移行行列、連分数、ブロック分解の手法を用いて、このような順列の母関数が第二種チェビシェフ多項式を用いて表現可能な有理関数であることを証明し、既存の結果を一般化するとともに、$132$、$321$、およびレイヤードパターンのようなウィルフクラスを統一する。

ABSTRACT

We study generating functions for the number of permutations in $\SS_n$ subject to two restrictions. One of the restrictions belongs to $\SS_3$, while the other to $\SS_k$. It turns out that in a large variety of cases the answer can be expressed via Chebyshev polynomials of the second kind.

研究の動機と目的

• 特定のパターンを避ける $Σ_3$ および $Σ_k$ 内の順列の母関数に関する既知の結果を統一・一般化すること。
• これらの母関数が第二種チェビシェフ多項式を用いて表現可能であることを示すこと。
• レイヤードパターンや複数の制約を組み込むことで、以前のウィルフ同値に関する結果を拡張すること。
• 移行行列と連分数を用いた解析的証明により、母関数を導出すること。
• 観察されたパターン回避順列における対称性の背後にある双対的証明の可能性を検討すること。

提案手法

• パターン回避順列における状態遷移をモデル化するための移行行列を用い、行列の小行列から母関数を導出する。
• 連分数展開を用いて、$132$ や $321$ を避ける順列の構造をモデル化し、フラジョレットの対応を通じてダックパスと関連付ける。
• ブロック分解を用いて、$L_p$ パターン（$132$ の一般化）を回避する順列を特徴づけ、母関数の再帰的構成を可能にする。
• 第二種チェビシェフ多項式 $U_r(x)$ を用いて有理関数 $R_k(x)$ を定義し、$R_k(x) = \frac{2tU_{k-1}(t)}{U_k(t)}$（$t = \frac{1}{2\sqrt{x}}$）とする。
• レイヤードパターン $[k,m]$ および $L_p$ を導入し、$132$ や $321$ 避免の場合を一般化し、再帰的組合せ的構造を用いて母関数を導出する。
• カタラン数と母関数に関する恒等式を証明し、$F_T(x)$ の有理関数性および閉形式表現の正当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パターン $132$ と $k$-サイクルパターン $[k,m]$ を同時に避ける順列の母関数は、チェビシェフ多項式を用いて表現可能か？
• RQ2 $L_p$-回避順列のブロック分解は、$R_k(x)$ を含む有理母関数をどのように導くか？
• RQ3 条件 $m = k-1$ のとき、$F_{\{L_4, [k,m]\}}(x) = F_{\{L_4, [k]\}}(x)$ の等式に双対的説明は可能か？
• RQ4 $\{321, [k,m]\}$ および $\{132, [k,m]\}$ の母関数が一致するのはなぜか？この等式は双対的に証明可能か？
• RQ5 計算的証拠が示唆するように、すべての $r \leq k$ に対して $G^r_{321;[k,1]}(x)$ と $G^r_{321;[k,2]}(x)$ は一致するか？

主な発見

• パターン $\{132, [k]\}$、$\{132, [k,m]\}$、または $\{321, [k,m]\}$ を回避する順列の母関数 $F_T(x)$ は、第二種チェビシェフ多項式を用いて定義される有理関数 $R_k(x)$ に等しい。
• $p=4$ の場合、母関数 $F_{\{L_4, [k]\}}(x)$ は $1 + x + x^2 R_k(x) R_{k-1}(x) (R_{k-1}(x) + R_{k-2}(x))$ で与えられ、ここで $L_4$ はパターン集合 $\{1324, 1423, 1342, 1432, 3142, 4132\}$ を表す。
• 一般の $p > 3$ に対して、母関数 $F_{\{L_p, [k]\}}(x)$ は $x^{p-2}$、$R_k(x)$、および $a$-列（増加部分列インジケータの列）に対応する $N(a)$（その $a$-列を持つ順列の数）の積を含む和で表現される。
• 母関数 $F_{\{L_4, [k,m]\}}(x)$ は、$t = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ を用いた第二種チェビシェフ多項式 $U_r(t)$ を明示的に用いて表され、$k$ および $m$ に関して有理的依存関係を示している。
• 正確に $r$ 個の $[k,1]$ が含まれる順列の母関数 $G^r_{321;[k,1]}(x)$ は $\frac{U^{r-1}_{k-1}(t)}{(2t)^{r-1} U^{r+1}_k(t)}$ に等しく、パターン統計とダックパスの数え上げを結びつける。
• $F_{\{L_4, [k,k-1]\}}(x) = F_{\{L_4, [k]\}}(x)$ の等式が成り立つ。これは、$m=k-1$ の場合、$[k]$ を避ける場合と比較して母関数に追加の変化がないことを示している。