[論文レビュー] Restricted permutations related to Fibonacci numbers and k-generalized Fibonacci numbers

Eric S. Egge|ArXiv.org|Sep 27, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、12…k、132、213 などの特定のパターン集合を回避する $S_n$ 内の順列の数が、$k-1$-一般化フィボナッチ数 $F_{k-1,n+1}$ に等しいことを示すことで、古典的なパターン回避順列に関する結果を一般化する。さらに、132、213、および逆順パターン $23\ldots k1$ を回避する場合、$k-2$-一般化フィボナッチ列の最初の $n$ 項の和に等しくなることが示され、明示的な母関数と双対的証明が提示されている。

ABSTRACT

We give enumerations of various families of restricted permutations involving the Fibonacci numbers or k-generalized Fibonacci numbers.

研究の動機と目的

• Simion と Schmidt の結果 $|S_n(123,132,213)| = F_{n+1}$ を、より大きなパターン集合に対して $k$-一般化フィボナッチ数に拡張すること。
• 任意の $k \geq 2$ に対して、$132$、$213$、およびパターン $23\ldots k1$ を回避する順列の構造と数え上げを同定すること。
• $k\ k-1\ldots4213$ および $2341$ を含むパターン集合に関して、パターン回避順列と線形結合されたフィボナッチ数や多項式の間の関係を以前の結果から一般化すること。
• 定理 4.10、4.11、4.12 における一般化フィボナッチ数え上げに対する双対的証明を提示し、順列パターンと再帰列の間のより深い構造的関係を探索すること。

提案手法

• 最大要素 $n$ の位置に基づく順列の位置的分解から導かれる再帰関係を用い、$12\ldots k$、$132$、$213$ を回避する順列の数が $k-1$-一般化フィボナッチ数 $F_{k-1,n+1}$ に等しいことを双対的構成によって証明する。
• 特に、最大要素 $n$ の位置に基づく再帰的分解を用いる。
• 差分列を用いる：$|S_n(132,213,23\ldots k1)|$ の最初の差分列が $k-2$-一般化フィボナッチ再帰関係を満たすことを示す。
• 再帰関係と初期条件を用いて母関数を導出し、$f(x) = \frac{x}{(1-x)(1 - x - x^2 - \cdots - x^{k-2})} + 1$ を得る。
• 順列 $|S_n(132,k\ k-1\ldots4213,2341)|$ の高階差分列を分析し、フィボナッチ型再帰関係を満たすことを示す。
• 既知の結果 $|S_n(132,213)| = 2^{n-1}$ を初期条件として用い、再帰的証明の出発点を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 2$ に対して、$S_n$ 内の $12\ldots k$、$132$、$213$ を回避する順列の正確な数え上げは何か？
• RQ2 パターン $132$、$213$、$23\ldots k1$ を回避する順列の構造は、$k-2$-一般化フィボナッチ列とどのように関係するか？
• RQ3 列 $|S_n(132,k\ k-1\ldots4213,2341)|$ は、2つのフィボナッチ数と次数 $k-2$ の多項式の線形結合として表せるか？
• RQ4 すべての $i$ と $k$ に対して、$|S_n(R_{i,k})|$ の $i$-番目の差分列が $k$-一般化フィボナッチ再帰関係を満たすような、禁止パターン集合 $R_{i,k}$ の一様族が存在するか？
• RQ5 定理 4.10、4.11、4.12 における一般化フィボナッチ数え上げに対して、双対的証明を構成できるか？

主な発見

• パターン $12\ldots k$、$132$、$213$ を回避する $S_n$ 内の順列の数は、正確に $k-1$-一般化フィボナッチ数 $F_{k-1,n+1}$ に等しく、双対的証明が与えられている。
• パターン $132$、$213$、$23\ldots k1$ を回避する順列の数は、$\sum_{i=1}^n F_{k-2,i}$ に等しく、ここで $F_{k-2,i}$ は $k-2$-一般化フィボナッチ列の $i$-番目の項である。
• $|S_n(132,213,23\ldots k1)|$ の母関数は $f(x) = \frac{x}{(1-x)(1 - x - x^2 - \cdots - x^{k-2})} + 1$ に等しく、これはフィボナッチ和の構造を確認する。
• $k \geq 4$ の場合、列 $|S_n(132,k\ k-1\ldots4213,2341)|$ は次数 $k-2$ の多項式に加え、2つのフィボナッチ数の線形結合として与えられ、$k=4,5,6$ に対して明示的な公式が提示されている。
• $|S_n(132,k\ k-1\ldots4213,2341)|$ の $k-3$-番目の差分列はフィボナッチ再帰関係を満たし、深いつながりを持つ再帰的構造の兆候を示している。
• 本稿は、より広範な禁止パターン集合族に対し、多項式とフィボナッチ成分を含む同様の線形結合が存在すると予想し、双対的証明と明示的数え上げに関する未解決問題を提示している。