[論文レビュー] Restrictions on Submanifolds via Focal Radius Bounds

Luis Guijarro, Frederick Wilhelm|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、埋め込まれた多様体の下界セクション曲率と焦点半径を用いて、部分多様体の第二基本形式のノルムに対する最適な上限を確立する。主な貢献は、Wilkingの横断的ヤコビ方程式に基づく新しいヤコビ場比較補題を用いて、$C^{1,\beta}$コンパクトネスおよびソール型構造定理を、$k$番目の中間リッチ曲率が非負である多様体に対して、古典的結果を一般化する鋭い不等式の導出である。

ABSTRACT

We give an optimal estimate for the norm of any submanifold's second fundamental form in terms of its focal radius and the lower sectional curvature bound of the ambient manifold. This is a special case of a similar theorem for intermediate Ricci curvature, and leads to a $C^{1,α}$ compactness result for submanifolds, as well as a "soul-type" structure theorem for manifolds with nonnegative $k^{th}$--intermediate Ricci curvature that have a closed submanifold with dimension $\geq k$ and infinite focal radius. To prove these results, we use the comparison lemma for Jacobi fields from arXiv:1603.04050 that exploits Wilking's transverse Jacobi equation. The comparison lemma also yields new information about group actions, Riemannian submersions, and submetries, including generalizations to intermediate Ricci curvature of results of Chen and Grove.

研究の動機と目的

• 焦点半径と周囲多様体の曲率境界を用いて、部分多様体の第二基本形式の鋭い推定値を確立すること。
• 中間リッチ曲率の条件下で、古典的剛性結果（例えばソール定理）を一般化すること。
• 古典的リッカティ比較を超える新しいヤコビ場比較補題の開発。
• 非負な$k$番目の中間リッチ曲率を有する多様体および無限な焦点半径を有する部分多様体に対して、構造定理を導出すること。
• ChenとGroveによるリーマン的被覆と群作用に関する結果を、中間リッチ曲率の設定にまで一般化すること。

提案手法

• Wilkingの横断的ヤコビ方程式を用いて、法方向における曲率の増大を制御する新しいヤコビ場比較補題を導出する。
• 比較補題を応用して、焦点半径と周囲曲率を用いて部分多様体の第二基本形式を評価する。
• 得られた曲率推定値を用いて、焦点半径と直径が有界な部分多様体に対して$C^{1,\alpha}$コンパクトネスを証明する。
• $\operatorname{Ric}_k \geq 0$ である完全多様体に次元$\geq k$の閉部分多様体$N$が存在し、焦点半径が無限である場合に、$N$が完全測地的であり、法指数写像がリーマン被覆であることを示すソール型構造定理を確立する。
• 被覆空間の共役点と最小測地線を分析することにより、リーマン被覆と同調性1群作用に関する結果を一般化する。
• HeintzeとKarcherのチューブ公式を活用して一様な体積下界を得ることで、Cheegerの有限性定理の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 焦点半径と周囲曲率を用いて、部分多様体の第二基本形式のノルムの最適な上界は何か？
• RQ2 固定された周囲多様体において、焦点半径と直径が有界な部分多様体に対して$C^{1,\alpha}$コンパクトネスは確立可能か？
• RQ3 $\operatorname{Ric}_k \geq 0$ である完全多様体が、焦点半径が無限である完全測地的閉部分多様体を含むための条件は何か？
• RQ4 中間リッチ曲率の下限がある条件下で、リーマン被覆の底多様体における共役点は、全空間の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 ChenとGroveによる被覆と群作用に関する結果は、どの程度中間リッチ曲率の設定にまで一般化可能か？

主な発見

• 周囲曲率が$\kappa=1$のとき、$|\mathrm{II}_N|$のノルムは$\cot(\mathrm{FocalRadius}(N))$で上界が与えられ、空間形式で等号が成立する。$\kappa=0$のとき、$1/\mathrm{FocalRadius}(N)$が上界であり、$\kappa=-1$のとき$\coth(\mathrm{FocalRadius}(N))$が上界である。
• $\kappa=0$かつ焦点半径が無限のとき、部分多様体は完全測地的である。
• コンパクトな周囲多様体において、焦点半径$\geq r$かつ直径$\leq D$を満たす閉部分多様体の族は、$C^{1,\alpha}$位相において前コンパクトであり、したがって微分同相型は有限個に限られる。
• $\operatorname{Ric}_k \geq 0$ である完全多様体に次元$\geq k$の閉部分多様体$N$が存在し、焦点半径が無限であるとき、$N$は完全測地的であり、法指数写像はリーマン被覆である。
• セクション曲率$\geq 1$のリーマン被覆の底多様体の共役半径は$\pi/2$以下であり、これはChenとGroveの結果を一般化する。
• 中間リッチ曲率$\operatorname{Ric}_k \geq k$を満たす同調性1作用において、軌道空間の直径は$\leq \pi/2$であり、等号が成立する場合、普遍被覆は標準計量を備えた球面または射影空間である。