[論文レビュー] On existence and curvature estimates of Ricci flow

Man Chun Lee, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非負の二重断面曲率と最大体積成長を示す完備非コンパクトケーラー多様体において、体積および断面曲率に関する幾何的条件下で、リッチフローの短時間存在を確立する。ヘ[11]およびシモン＝トッピング[23]の技術を用いて、曲率の衰減 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $（$ \theta < 2 $）の下で非負の二重断面曲率が保存されることを証明し、非崩壊性および一様有界性の仮定の下で曲率が $ a t^{-1} $ で有界であることを示す。これにより、このような多様体が $ \mathbb{C}^m $ に正則同型であることを証明する。

ABSTRACT

In this work, using the method by He, we prove a short time existence for Ricci flow on a complete noncompact Riemannian manifold with the following properties: (i) there is $r_0&gt;0$ such that the volume of any geodesic balls of radius $r\le r_0$ is close to the volume of the geodesic ball in the Euclidean space with the same radius; (ii) the Ricci curvature is bounded below; (iii) the sectional curvature is bounded below by $-Cd^2(x,x_0)$ where $d(x,x_0)$ is the distance from a fixed point. An application to the uniformization for complete noncompact Kahler manifolds with nonnegative bisectional curvature and maximal volume growth is given. The result is related to the results of He and Liu. We prove if $g(t)$ is a complete solution to the Kahler-Ricci flow on a complete noncompact Kahler manifold so that $g(0)$ has nonnegative bisectional curvature and the curvature of $g(t)$ is bounded by $at^{-b}$ for some $a&gt;0, 2&gt;b&gt;0$, then $g(t)$ also has nonnegative bisectional curvature. This generalizes a previous result. Under the assumption that $g(0)$ is noncollapsing, with additional assumption that the curvature of $g(t)$ is uniformly bounded away from $t&gt;0$, we prove that the curvature of $g(t)$ is in fact bounded by $at^{-1}$ for some $a&gt;0$. This result is proved using the method by Simon and Topping.

研究の動機と目的

• 完備非コンパクトケーラー多様体において、体積および曲率条件の下でリッチフローの短時間存在を確立すること。
• 曲率の衰減 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $（$ \theta < 2 $）の下で非負の二重断面曲率が保存されることを証明し、先行研究を一般化すること。
• 非崩壊性および一様有界性の仮定の下で、曲率が $ a t^{-1} $ で衰減することを示し、先行の評価を改善すること。
• 非負の二重断面曲率、最大体積成長、およびスケール $ r_0 $ における体積制御を満たす完備非コンパクトケーラー多様体が $ \mathbb{C}^m $ に正則同型であることを証明すること。

提案手法

• ヘ[11]の手法を用いて、体積制御および下界付きリッチ曲率・断面曲率の下限を満たす完備非コンパクト多様体におけるリッチフローの短時間存在を証明する。
• ティアン＝ワン[24]の擬似局所定理を用いて、小さな時間間隔における曲率発展を制御する。
• シモンとトッピング[23]の曲率推定技術を用いて、非崩壊性および一様有界性の仮定の下で $ |\text{Rm}| \leq a t^{-1} $ を導出する。
• 体積非崩壊性、曲率衰減、リッチフローの進化を組み合わせて、非負の二重断面曲率を保存する。
• ケース2の背理法構造において、スケーリングとリスケーリングを用いて矛盾を導出する。
• レムマ4.1およびレムマ4.2を適用して、変化する計量球内の体積および曲率を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の二重断面曲率と最大体積成長を示す完備非コンパクトケーラー多様体において、どのような幾何的条件下でリッチフローが短時間存在するか？
• RQ2 曲率の衰減 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $（$ \theta < 2 $）の下で、非負の二重断面曲率が保存可能か？このとき $ a $ が小さい必要はないか？
• RQ3 非崩壊性および一様有界性の仮定の下で、完全なケーラー＝リッチフローソリューションにおいて曲率評価 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-1} $ が成立するか？
• RQ4 初期曲率定数に小刻みの仮定がない場合、曲率の衰減率を $ t^{-\theta} $ から $ t^{-1} $ に改善できる程度はどの程度か？
• RQ5 非負の二重断面曲率、最大体積成長、およびスケール $ r_0 $ における体積制御を満たす完備非コンパクトケーラー多様体は、$ \mathbb{C}^m $ に正則同型であるか？

主な発見

• 本稿は、体積制御 $ V_g(x,r_0) \geq (1 - \delta_0) r_0^{2m} \omega_{2m} $、下界付きリッチ曲率、および $ -r^2(x) $ で下から有界な断面曲率を満たす完備非コンパクトケーラー多様体におけるリッチフローの短時間存在を証明する。
• 非負の二重断面曲率が、$ \theta < 2 $ の下で曲率の衰減 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $ の下でも保存されることを確立し、$ a $ が小さい必要がない場合でも成り立つ。これは[13]を一般化する。
• 非崩壊性および $ t > 0 $ における曲率の一様有界性の仮定の下で、曲率が $ |\text{Rm}| \leq a t^{-1} $ で衰減することが示され、先行の推定を改善する。
• 主な結果として、ヤウの予想が確認される：このような多様体は、$ \delta_0 $ が $ m $ のみに依存する十分に小さい場合、$ \mathbb{C}^m $ に正則同型である。
• 証明は、スケーリングと曲率推定を用いた背理法に依拠しており、大きな曲率スパイクが体積および曲率制御に矛盾することを示す。
• 本結果は、非負の断面曲率を示すケーラー多様体にも適用可能であり、その曲率および体積条件は仮定を満たす。