[論文レビュー] Resurgence in complex Chern-Simons theory

Sergei Gukov, Marcos Mariño+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 72被引用数 63

ひとこと要約

本稿は、3次元多様体上の$SU(2)$ゲージ理論におけるアーベルおよび非可約な平坦接続の周りの摂動的展開のボレル再帰化を分析することにより、複素チャーン・サイモンズ理論におけるリジュルゼンス構造を確立する。非可約接続からの寄与が、アーベル的鞍点付近の漸近的データからストークス現象を通じて生じることを示し、リジュルゼンスをモックモジュラー形式、A多項式の幾何学、およびWRT不変量のカテゴリフィケーションと結びつける。

ABSTRACT

We study resurgence properties of partition function of SU(2) Chern-Simons theory (WRT invariant) on closed three-manifolds. We check explicitly that in various examples Borel transforms of asymptotic expansions posses expected analytic properties. In examples that we study we observe that contribution of irreducible flat connections to the path integral can be recovered from asymptotic expansions around abelian flat connections. We also discuss connection to Floer instanton moduli spaces, disk instantons in 2d sigma models, and length spectra of "complex geodesics" on the A-polynomial curve.

研究の動機と目的

• 閉じた3次元多様体上の$SU(2)$チャーン・サイモンズ理論におけるリジュルゼンスを調査し、摂動的寄与と非摂動的寄与の間の相互作用に焦点を当てる。
• 非可約な平坦接続からの寄与が、ストークス現象を通じてアーベル的鞍点の周りの漸近的展開から生じることを確立する。
• ボレル平面における contour 積分表現を通じて、リジュルゼンスをモックモジュラー形式に結びつける。
• フローリエインスタントンのモジュライ空間および2次元シグマ模型におけるディスクインスタントンがリジュルゼンス枠組みの中で果たす役割を調査する。
• ボレル変換の特異構造を、A多項式曲線上の複素測地線の幾何学に結びつける。

提案手法

• アーベル的および非可約な平坦接続の周りのチャーン・サイモンズの分配関数の摂動的展開にボレル再帰化を適用する。
• 特異点と解析接続を分析するため、ボレル変換$B^{\beta}(\theta)$を用いる。ここで$\theta = -2\beta S_{\beta}$であり、$S_{\beta}$は作用である。
• トランスシリーズパラメータ$n_{\beta}$を導入し、リジュルゼンス的積分$Z_{\beta} = \int_{\gamma_{\beta}} d\xi \, e^{-k(\xi - \xi_{\beta})} B^{\prime\beta}(\xi)$を定義する。ここで$\gamma_{\beta}$は勾配降下のサイクルである。
• 特異点$\xi_{\beta}$付近でのボレル変換の振る舞いを分析し、ストークス現象に起因する極と対数的項が生じることを示す。
• ボレル平面における特異点の構造を、アトキン＝レーナー自己同型とモジュラー形式の性質に結びつける。
• 平坦接続のモジュライ空間の幾何学を通じて、リジュルゼンス構造をA多項式曲線上の複素測地線の長さスペクトルに結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャーン・サイモンズ理論における非可約な平坦接続からの寄与は、どのようにアーベル的鞍点の周りの漸近的展開から生じるか？
• RQ2 ストークス現象は、複素チャーン・サイモンズ理論における摂動的データと非摂動的寄与を結ぶ上で、どのように正確に機能するか？
• RQ3 ボレル変換の特異点は、A多項式曲線の幾何学およびその複素測地線とどのように関係するか？
• RQ4 リジュルゼンス構造がどのようにモックモジュラー形式を生じさせ、そのモジュラー性質が contour 積分にどのように符号化されるか？
• RQ5 リジュルゼンス枠組みを用いてWRT不変量をカテゴリフィケーションし、2次元シグマ模型におけるBPS縮退と結びつけることができるか？

主な発見

• ボレル変換$B^{\prime\beta}(\xi)$は、自明な接続では$\xi^{-1/2}$の特異性を示し、アーベル的接続では$(\xi - \xi_{\beta})^{-1/2}$の振る舞いを示し、非可約接続では正則な構造を示す。
• 非可約接続では、$\xi = \xi_{\beta}$で単純な極と対数的項が生じ、その留数は$c_{-1}^{\beta}$に比例し、これは非摂動的寄与$Z_{\beta}$に対応する。
• ストークス現象は明示的に、分配関数のシフトとして実現される：$Z_{\alpha} \to Z_{\alpha} + m^{\alpha\beta} e^{-k(\xi_{\beta} - \xi_{\alpha})} Z_{\beta}$、ここで$m^{\alpha\beta}$はモノドロミー係数である。
• モックモジュラー形式の出現は、ボレル平面における contour 積分と関係する：$f(q) = \frac{1}{\sqrt{\tau}} \int_{\gamma} d\xi \, B(\xi) \, e^{-\xi/\tau}$、ここで$q = e^{2\pi i \tau}$。
• ボレル変換の特異構造は、アトキン＝レーナー自己同型の作用と結びついており、リジュルゼンススケーラムにさらなる算術的構造が存在することを示唆する。
• $S^3$の分配関数は$Z(S^3) = \sqrt{\frac{2}{k}} \sin(\pi/k)$として回復され、ボレル変換の正規化および理論の物理的正規化と整合的である。