[論文レビュー] D-Branes And Mirror Symmetry

Kentaro Hori, Amer Iqbal+1 more|ArXiv.org|May 25, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 63被引用数 385

ひとこと要約

本稿は、N=2超対称理論におけるD-braneと鏡像対称性の間の幾何的・代数的枠組みを確立し、ケーラー多様体上の正則D-braneが、ランダウ＝ジンブルグ（LG）鏡像理論におけるラグランジュD-braneに対応することを示している。また、D-braneの交差数を用いてSU(2) WZWモデルのヴェルリンクデ代数の幾何的実現を提供するとともに、質量のあるLG理論におけるソリトン数とR荷の間の関係をピカール＝レフシェッツモノドロミーを用いて結びつけている。

ABSTRACT

We study (2,2) supersymmetric field theories on two-dimensional worldsheet with boundaries. We determine D-branes (boundary conditions and boundary interactions) that preserve half of the bulk supercharges in non-linear sigma models, gauged linear sigma models, and Landau-Ginzburg models. We identify a mechanism for brane creation in LG theories and provide a new derivation of a link between soliton numbers of the massive theories and R-charges of vacua at the UV fixed point. Moreover we identify Lagrangian submanifolds that arise as the mirror of certain D-branes wrapped around holomorphic cycles of Kähler manifolds. In the case of Fano varieties this leads to the explanation of Helix structure of the collection of exceptional bundles and soliton numbers, through Picard-Lefshetz theory applied to the mirror LG theory. Furthermore using the LG realization of minimal models we find a purely geometric realization of Verlinde Algebra for SU(2) level k as intersection numbers of D-branes. This also leads to a direct computation of modular transformation matrix and provides a geometric interpretation for its role in diagonalizing the Fusion algebra.

研究の動機と目的

• 境界を持つ(2,2)超対称場理論における半分の超対称性を保存するD-braneの体系的記述を構築すること。
• ケーラー多様体上の正則D-braneとランダウ＝ジンブルグ理論におけるラグランジュD-braneの間の鏡像対応を確立すること。
• LGモデルにおけるD-brane交差数を用いて、ヴェルリンクデ代数およびモジュラーS行列の幾何的解釈を提供すること。
• 質量のあるLG理論におけるソリトン数とUV固定点におけるチラル場のR荷との間の関係を明確にすること。
• Fano多様体上の例外的バンドルのヘリックス構造を、LG鏡像に適用した鏡像対称性およびピカール＝レフシェッツ理論によって説明すること。

提案手法

• N=2超対称sigmaモデル、ランダウ＝ジンブルグ（LG）モデル、ゲージ線形スカラー理論モデルにおけるBPS境界条件を、超対称性制約を用いて分析する。
• 非コンパクトなサイクルを持つLG理論における消滅サイクルのモノドロミーと交差数を計算するためにピカール＝レフシェッツ理論を適用する。
• 周期積分と境界エントロピーを用いてLGモデルにおける境界状態を特徴づけ、それらをラムオン荷に関連付ける。
• パrameterの変形に伴うモノドロミーとR荷の流れを用いて、質量のあるLG理論におけるブレーン生成メカニズムを導出する。
• ケーラー多様体上の正則サイクルとLG鏡像におけるラグランジュ部分多様体との間の鏡写し写像を構築し、特にFano多様体に対して有効である。
• N=2最小モデルのLG記述を用いて、ヴェルリンクデ代数をD-braneの交差数として幾何学的に実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を持つ(2,2)超対称場理論における、バッキングの超荷の半分を保存するD-braneはどのように生じるか？
• RQ2 ケーラー多様体上の正則D-braneとLG理論におけるラグランジュD-braneの間の正確な鏡像対応とは何か？
• RQ3 SU(2)レベルkのヴェルリンクデ代数は、LGモデルにおけるD-brane交差数によってどのように幾何学的に実現されるか？
• RQ4 質量のあるLG理論におけるソリトン数とチラル場のR荷との間の関係の起源は何か？
• RQ5 LG鏡像側におけるピカール＝レフシェッツ理論を用いることで、Fano多様体上の例外的バンドルのヘリックス構造はどのように説明されるか？

主な発見

• SU(2) WZWモデルのレベルkにおけるヴェルリンクデ代数は、最小モデルのLG鏡像におけるD-braneの交差行列として幾何学的に実現される。
• SU(2) WZWモデルのモジュラーS行列は、D-brane基底状態間の遷移行列として直接計算され、これにより、その結合代数の対角化に果たす役割の幾何的解釈が得られる。
• Fano多様体に対して、例外的バンドルのヘリックス構造は、鏡像LG理論における消滅サイクルに作用するピカール＝レフシェッツモノドロミーによって説明される。
• 質量のあるLG理論におけるソリトン数は、消滅サイクルの交差行列を用いて計算され、特に$\mathbb{P}^2$、$\mathcal{B}_1$、$\mathcal{B}_2$、$\mathcal{B}_3$、および$F_0 = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$に対して明示的な行列が導出された。
• 交差行列の$\mathbb{P}^2$は$\begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$であり、チラル環のラムオン荷構造と一致する。
• 質量のあるLG理論におけるブレーン生成は、パrameterの流れに伴うサイクル構造のモノドロミー由来の変化によって生じ、R荷の進化と関連付けられている。