[論文レビュー] Reverse test and quantum analogue of classical fidelity and generalized fidelity

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、逆テストフレームワークを用いて、古典的同時確率と一般化された同時確率の量子版を導入し、$F_{\min}(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\,\rho\sqrt{\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2}}$ および $F_f^{\min}(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\,\rho f(\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2})$ を定義する。これらの量は、量子操作の下で単調増加であることが示され、この性質を満たす最小の関数的であり、強い同時凹性を有し、量子統計的距離に対してタイトな境界を与える。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to give axiomatic characterization of quantum relative entropy utilizing resource conversion scenario. We consider two sets of axioms: non-asymptotic and asymptotic. In the former setting, we prove that the upperbound and the lowerbund of D^{Q}(ρ||σ) is D^{R}(ρ||σ):=trρlnσ^{1/2}ρ^{-1}σ^{1/2} and D(ρ||σ):= trρ(lnρ-lnσ), respectively. In the latter setting, we prove uniqueness of quantum relative entropy, that is, D^{Q}(ρ||σ) should equal a constant multiple of D(ρ||σ). In the analysis, we define and use reverse test and asymptotic reverse test, which are natural inverse of hypothesis test.

研究の動機と目的

• 逆テストフレームワークを用いて、古典的同時確率および一般化された同時確率の量子版を定義すること。
• 完全正規化トレース保存マップの下で、最小の単調性を示す量子同時確率関数の特徴付け。
• 提案された量子同時確率関数の強い同時凹性および単調性の性質の確立。
• $F_{\min}(\rho,\sigma)$ を用いて、量子統計的距離 $\Delta_{\max}(\rho,\sigma)$ に対する境界を導出すること。
• $F_{\min}$ が RLD フィッシャー情報計量に関連して果たす幾何学的および情報理論的役割の明確化。

提案手法

• 古典的確率対 $\{p,q\}$ から量子状態 $\{\rho,\sigma\}$ への CPTP マップとしての逆テストを定義し、古典的測定から量子状態の逆再構成を可能にする。
• すべての $\{\rho,\sigma\}$ の逆テストにおける古典的同時確率 $F(p,q)$ の最小値として $F_{\min}(\rho,\sigma)$ を定義し、これが $\mathrm{tr}\,\rho\sqrt{\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2}}$ に等しいことを示す。
• 関数 $f$ が演算子単調である場合に一般化し、$F_f^{\min}(\rho,\sigma)$ を $\mathrm{tr}\,\rho f(\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2})$ として定義する。
• 相対エントロピーとの双対性と逆テスト構造を用いて、TPCP マップの下での $F_{\min}$ および $F_f^{\min}$ の単調性を証明する。
• 変分的特徴付けと逆テスト最適化を用いて、$F_f^{\min}$ の強い同時凹性を確立する。
• $F_{\min}$ を RLD フィッシャー情報計量 $J^R$ と関連付け、特定の測地線に沿った $J^R$ の積分として現れることを示すが、$\cos^{-1}F_{\min}$ は測地線長に等しくない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TPCP マップの下で、最小の単調性を示す量子同時確率関数は何か？ そして古典的同時確率とどのように関係するか？
• RQ2 逆テストを用いて、一般化された同時確率 $F_f(p,q)$ をどのように量子状態に拡張できるか？ そして得られる $F_f^{\min}$ が満たす性質は何か？
• RQ3 $F_{\min}$ は量子統計的距離 $\Delta_{\max}(\rho,\sigma)$ に対してタイトな境界を与えるか？ また、古典的境界と比較するとどうか？
• RQ4 $F_{\min}$ の幾何的解釈は RLD フィッシャー情報計量に関してどのようになっているか？ なぜ $\cos^{-1}F_{\min}$ が測地線長に等しくならないのか？
• RQ5 $F_R(\rho,\sigma)$ は、RLD 積分のコサインとして定義されるが、これは jointly 凸か凹か？ そして明示的に計算可能か？

主な発見

• $F_{\min}(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\,\rho\sqrt{\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2}}$ は、TPCP マップの下で最小の単調性を示す量子同時確率関数である。
• 任意の演算子単調関数 $f$ に対して、一般化された量子同時確率 $F_f^{\min}(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\,\rho f(\rho^{-1/2}\sigma\rho^{-1/2})$ は、単調増加であり、このような関数の中で最小である。
• $F_{\min}$ および $F_f^{\min}$ は、逆テスト最適化と双対性を用いた証明により、強い同時凹性を有する。
• $F_{\min}$ は量子統計的距離 $\Delta_{\max}(\rho,\sigma)$ に対する境界を与える。具体的には、$1 - F_{\min}(\rho,\sigma) \leq \Delta_{\max}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - F_{\min}(\rho,\sigma)^2}$ を満たす。
• $F_{\min}$ は特定の曲線に沿った RLD フィッシャー情報計量 $J^R$ の積分として現れるが、$\cos^{-1}F_{\min}(\rho,\sigma)$ は測地線長に等しくない。これは SLD の場合とは異なり、その点で重要である。
• 純粋状態 $\sigma = |\varphi\rangle\langle\varphi|$ の場合、$\Delta_{\max}(\rho,\sigma) = 1 - F(\rho,\sigma)^2 = 1 - F_{\min}(\rho,\sigma)^2$ が成り立ち、明示的な公式が得られる。