[論文レビュー] Reversible addition circuit using one ancillary bit with application to quantum computing

Phillip Kaye|ArXiv.org|Aug 28, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、1つのアーキテクチャック・キュービットとO(n³)のToffoliゲートを用いて、2つのnビット数のインプレース加算を実行する可逆的量子加算回路を提示する。この手法は、古典的可逆論理に基づく制御付きインクリメント回路を活用し、量子フーリエ変換や高精度回転ゲートの必要性を回避するため、最小限のキュービットオーバーヘッドで効率的な量子算術を実現する。

ABSTRACT

Most of the work on implementing arithmetic on a quantum computer has borrowed from results in classical reversible computing (e.g. [VBE95], [BBF02], [DKR04]). These quantum networks are inherently classical, as they can be implemented with only the Toffoli gate. Draper [D00] has proposed an inherently "quantum" network for addition based on the quantum Fourier transform. His approach has the advantage that it requires no carry qubits (the previous approaches required O(n) carry qubits). The network in [D00] uses quantum rotation gates, which must either be implemented with exponential precision, or else be approximated. In this paper I give a network of O(n^3) Toffoli gates for reversibly performing in-place addition with only a single ancillary bit, demonstrating that inherently quantum techniques are not required to achieve this goal (provided we are willing to sacrifice quadratic circuit depth). After posting the original version of this note it was pointed out to me by C. Zalka that essentially the same technique for addition was used in [BCD+96]. The scenario in that paper was different, but it is clear how the technique they described generalizes to that in this paper.

研究の動機と目的

• 量子計算におけるキュービットの高コストなリソースを低減するため、アーキテクチャック・キュービットの使用を最小限に抑えた可逆的量子加算回路の設計。
• 量子フーリエ変換のような本質的に量子的な技術が、低アーキテクチャック加算に必要ではないことを示すこと。
• 2つのnビット数の加算を、2ⁿを法としてインプレースで実行し、1つのアーキテクチャック・ビットのみを用いること。
• Toffoliゲートに基づく古典的可逆回路を提供し、これを直接量子ネットワークに実装可能にする。
• O(n³)の回路深さが、量子算術における最小限のキュービット使用量を達成するための妥当なトレードオフであることを示すこと。

提案手法

• 回路は、被加数aの各ビットに応じて制御付きインクリメント操作を逐次実行する。
• 各制御付きインクリメントは、ゼロ制御付きCNOTゲートを含む、CNOTゲートの級列で実装される。
• 1つのアーキテクチャック・キュービットがキャリー・フラグとして機能し、インクリメント中に0から1へのビット反転が発生した際に信号を送出することで、キャリー伝搬の終了を可能にする。
• 各ゲートに制御キュービットを追加することで、特定のaのビットが1のときにのみインクリメント操作が実行されるようにし、条件付き操作を実現する。
• 回路構造は、古典的可逆インクリメント回路を基盤とし、被加数の全ビットにわたる条件付き適用に適応したものである。
• 最終的な加算回路は、MSBからLSBの順序で制御付きインクリメントを適用することで、2ⁿを法とした正しいモジュラー加算を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのnビット数のインプレース加算を、古典的可逆論理を用いて1つのアーキテクチャック・キュービットでのみ実現可能か？
• RQ2 量子加算回路において、量子フーリエ変換や高精度回転ゲートの使用を回避することは可能か？
• RQ3 1つのアーキテクチャック・キュービットのみを用いる可逆的加算回路の回路深さとゲート数はどの程度か？
• RQ4 [BCD+96]で提示された古典的可逆計算の技術を、最小限のアーキテクチャックを用いた量子加算に一般化可能か？
• RQ5 Toffoliゲートに基づく回路が、O(n³)の深さと1つのアーキテクチャック・キュービットを用いながら、モジュラー加算を実行し、完全に可逆的であるか？

主な発見

• 提案された加算回路は、1つのアーキテクチャック・キュービットのみを用いるため、従来のO(n)のアーキテクチャック・キュービットを要する手法と比較して、キュービットリソースの要件を顕著に低減する。
• 回路深さはO(n³)であり、n ≥ 3の範囲で(2/3)n³ + (3/2)n² - (25/6)n + 8で上限が定められる。これは、最小限のアーキテクチャック使用量を達成するための妥当なトレードオフである。
• 回路はToffoli、CNOT、NOTゲートのみから構成されており、古典的可逆的であり、量子回路に直接実装可能である。
• 物理的量子系において問題となる、量子回転ゲートや指数的精度の実装を回避する。
• この手法は[BCD+96]で示された技術を一般化したものであり、同じ論理が最小限のアーキテクチャックを用いた量子算術に適応可能であることを確認する。
• 計算終了後のアーキテクチャック・キュービットの状態は1となるため、再利用可能であり、モジュラーおよび反復的量子アルゴリズムの支援に寄与する。