[論文レビュー] Revisiting Tietze-Nakajima - Local and Global Convexity for Maps

Yael Karshon, Christina Bjorndahl|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、トポロジカル空間から R^n への写像に対して、古典的な Tietze-Nakajima 定理を拡張し、'凸写像'という概念を導入する—すなわち、任意の二点が、その写像による像が R^n 内の直線線分の単調パラメータ表示となるような経路で結べる写像である。連結性、固有性、および局所的な凸性と開性の条件下で、本論文は、写像全体が凸かつ開であり、その像が凸であり、ファイバーが連結であることを証明する。

ABSTRACT

A theorem of Tietze and Nakamija, from 1928, asserts that if a subset X of R^n is closed, connected, and locally convex, then it is convex. We give an analogous "local to global convexity" theorem when the inclusion map of X to R^n is replaced by a map from a topological space X to R^n that satisfies certain local properties. We say that a map from a topological space to R^n is convex if every two points in the space can be connected by a path whose composition with the map is a weakly monotone parametrization of a straight line segment. Let X be a connected Hausdorff topological space, let T be a convex subset of R^n, and let Psi: X o T be a continuous proper map. Suppose that every point in X is contained in an open set U such that the map Psi|_U: U o Psi(U) is convex and open. Then the map Psi: X o Ψ(X) is convex and open. Consequently, its image is convex and its level sets are connected. Our motivation comes from the Condevaux-Dazord-Molino proof of the Atiyah-Guillemin-Sternberg convexity theorem in symplectic geometry.

研究の動機と目的

• R^n の部分集合からトポロジカル空間から R^n への連続写像への、Tietze-Nakajima の局所的から大域的への凸性原理の一般化を図ること。
• パスが R^n 内の単調な直線線分に写るような、新たな写像のクラス—'凸写像'—を定義・分析すること。
• 局所的凸性と開性が大域的凸性と開性、およびファイバーの連結性をもたらす条件を確立すること。
• シンプレクティック幾何学の応用を動機として、大学院レベルの学部生が理解可能な、素朴な証明枠組みを提供すること。
• 著者の結果と先行研究、特に Birtea-Ortega-Ratiu (2007) の関係を明確にし、彼らの凸性条件がより強く、より洗練された、直感的な記述をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 写像 $\Psi: X \to \mathbb{R}^n$ が、$X$ 内の任意の二点が、$\Psi \circ \gamma$ が $\mathbb{R}^n$ 内の直線線分の単調パラメータ表示となるような経路 $\gamma$ で結べるとき、その写像を凸と定義する。
• $X$ が連結かつハウスドルフであり、$\Psi$ が固有であり、$X$ の各点が、$\Psi|_U$ がその像への写像として凸かつ開であるような近傍 $U$ を持つものとする。
• コンパクト集合上で一様な局所的凸性（補題3）を用いて経路長を制御し、中点を構成する（補題5）ことにより、経路に基づく凸性構造の存在を保証する。
• 分区関数と局所的凸性を用いて、像が直線となる大域的経路を構成し、$\Psi$ が大域的に凸かつ開であることを証明する。
• 凸写像は局所的ファイバー連結性をもち、Birtea-Ortega-Ratiu (2007) のより広い意味での局所的凸性データを満たすが、より強い仮定を用いる。
• $\Psi$ の閉性と固有性を用いて、像が閉かつ凸であり、パスの上り上げと凸性の議論によりファイバーが連結であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tietze-Nakajima の局所的から大域的への凸性原理を、R^n の部分集合からトポロジカル空間から R^n への連続写像へ拡張することは可能か？
• RQ2 $\Psi: X \to \mathbb{R}^n$ に対して、どのような条件が局所的凸性と開性が大域的凸性と連結ファイバーをもたらすか？
• RQ3 著者らの '凸写像' の定義は、Birtea-Ortega-Ratiu (2007) で用いられる局所的凸性データとどのように比較できるか？また、その結果の強さと明快さにどのような影響を与えるか？
• RQ4 凸写像条件は、シンプレクティック幾何学や凸性定理の先行研究と比較して、結論をどのように簡略化または強化するか？
• RQ5 Atiyah-Guillemin-Sternberg の凸性定理の証明は、この素朴で経路に基づく凸写像の定義を用いて再構成可能か？

主な発見

• $X$ が連結かつハウスドルフであり、$\Psi: X \to \mathbb{R}^n$ が固有であり、各点が $\Psi|_U$ がその像への写像として凸かつ開であるような近傍 $U$ を持つならば、$\Psi$ はその像への写像として大域的に凸かつ開である。
• $\Psi(X)$ は $\mathbb{R}^n$ 内で凸であり、任意の $y \in \Psi(X)$ に対してファイバー $\Psi^{-1}(y)$ は連結である。
• 証明は素朴で、基本的な位相の知識を持つ大学院レベルの学部生が理解可能であり、経路構成、一様な局所的凸性、コンパクト性の議論に依存する。
• 著者らの凸写像条件は、Birtea-Ortega-Ratiu のより広い意味での局所的凸性データと局所的ファイバー連結性の両方を含むが、より強い構造的仮定を用いる。
• 閉球体から $\mathbb{R}^n$ への包含写像は、著者らの意味で凸写像であるが、元々の Birtea-Ortega-Ratiu (2007) の定式化では局所的凸性データの条件を満たさない。
• Birtea-Ortega-Ratiu (2007) の結果を考慮すると、本研究の結果は本質的に新規ではないが、著者らの定式化はより洗練され、直感的な記述と証明をもたらす。