[論文レビュー] Ricci curvature and isometric actions with scaling nonvanishing property

Jiayin Pan, Xiaochun Rong|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体のリッチ曲率が下から有界である場合の等長作用に対して、スケーリング $Φ$-非消滅性という性質を導入し、等長変位を介して大規模幾何と小規模幾何を結びつける。この条件と非崩壊性単位球の下で、基本群の短い生成元の数が一様に有界であることが示され、非負のリッチ曲率とユークリッド体積成長を満たす開多様体に対して、基本群が有限生成であることを証明する。

ABSTRACT

In the study manifolds of Ricci curvature bounded below, a stumbling obstruction is the lack of links between large-scale geometry and small-scale geometry at a fixed reference point. There have been few links (volume, dimension) when the unit ball at the point is not collapsed, that is, $\mathrm{vol}(B_1(p))\ge v>0$. In this paper, we conjecture a new link in terms of isometries: if the maximal displacement of an isometry $f$ on $B_1(p)$ is at least $δ>0$, then the maximal displacement of $f$ on the rescaled unit ball $r^{-1}B_r(p)$ is at least $Φ(δ,n,v)>0$ for all $r\in(0,1)$. We call this scaling $Φ$-nonvanishing property at $p$. We study the equivariant Gromov-Hausdorff convergence of a sequence of Riemannian universal covers with abelian $π_1(M_i,p_i)$-actions $(\widetilde{M}_i, ilde{p}_i,π_1(M_i,p_i))\overset{GH}\longrightarrow(\widetilde{X}, ilde{p},G)$, where $π_1(M_i,p_i)$-action is scaling $Φ$-nonvanishing at $ ilde{p_i}$. We establish a dimension monotonicity on the limit group associated to any rescaling sequence. As one of the applications, we prove that for an open manifold $M$ of non-negative Ricci curvature, if the universal cover $\widetilde{M}$ has Euclidean volume growth and $π_1(M,p)$-action on $R^{-1}\widetilde{M}$ is scaling $Φ$-nonvanishing at $ ilde{p}$ for all $R$ large, then $π_1(M)$ is finitely generated.

研究の動機と目的

• リッチ曲率が下から有界な多様体における大規模構造と小規模構造の間の幾何的リンクの欠如を解決する。
• ミルナー予想（非負のリッチ曲率をもつ開多様体の基本群が有限生成であること）の障害を克服するため、新しい幾何的条件を確立する。
• スケーリング $Φ$-非消滅性条件下で、等長変位のスケーリングを用いて、基点における短い生成元の数に一様な上限を与える。
• 非負のリッチ曲率とユークリッド体積成長を満たす開 $n$-多様体に対して、スケーリング $Φ$-非消滅性作用のもとで基本群の有限生成性を証明する。
• 非崩壊性単位球においてスケーリング $Φ$-非消滅性が自動的に成り立つと予想され、その場合、主結果がすべてのこのような多様体に一般化される。

提案手法

• スケーリング $Φ$-非消滅性を定義：等長変位が小さな球上で $\geq \delta$ であるならば、そのスケーリングされた変位はより小さな球上で $\Phi(\delta)$ 以上に下から有界である。
• アーベル基本群作用を伴う普遍被覆の列を、等長的Gromov–Hausdorff収束を用いて分析する。
• スケーリング下での極限群における次元の単調性を、接錐と群作用を用いて示す。
• スケーリングされた多様体と関連する群作用の収束部分列を抽出するための対角線列の議論を用いる。
• 固定点群の連結成分の数に関する帰納法を用い、背理法により無限生成を除外する。
• ウィルキングの還元を適用し、基本群をアーベルに制限することで、有限生成性の証明を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率幾何におけるスケール間のリンクの欠如を克服するため、大規模と小規模の等長作用行動を結ぶ幾何的条件を定式化できるか？
• RQ2 開多様体 $\mathrm{Ric} \geq 0$ の普遍被覆における非崩壊性単位球において、スケーリング $\Phi$-非消滅性が常に成立するか？
• RQ3 スケーリング $\Phi$-非消滅性条件下で、$\pi_1(M,p)$ の短い生成元の数は基点 $p$ で一様に有界か？
• RQ4 スケーリング $\Phi$-非消滅性条件は、非負のリッチ曲率とユークリッド体積成長を満たす開 $n$-多様体 $M$ に対して $\pi_1(M)$ の有限生成性を示唆するか？
• RQ5 スケーリングおよび還元技術を拡張することで、アーベルの場合の結果を一般の基本群に拡張し、ミルナー予想を証明できるか？

主な発見

• 任意の $n, R, v > 0$ および正の関数 $\Phi$ に対して、定数 $C(n,R,v,\Phi)$ が存在し、$\mathrm{vol}(B_1(\tilde{p})) \geq v$ かつ $\pi_1(M,p)$-作用が $\tilde{p}$ でスケーリング $\Phi$-非消滅性を満たすならば、$\#S(p,R) \leq C(n,R,v,\Phi)$ が成り立つ。
• スケーリング $\Phi$-非消滅性条件は、等長変位がスケーリングに対して消えないことを保証し、小スケールでの変位に一様な下界を与える。
• 普遍被覆 $\widetilde{M}$ がユークリッド体積成長を満たし、すべての $R \geq 1$ に対して $R^{-1}\widetilde{M}$ 上の $\pi_1(M,p)$-作用が $\tilde{p}$ でスケーリング $\Phi$-非消滅性を満たすならば、$\pi_1(M)$ は有限生成である。
• 証明は、スケーリングされた普遍被覆の等長的Gromov–Hausdorff収束と、群作用の極限を用いた背理法に依存する。
• スケーリング下で極限群の作用の次元は減少するため、固定点群の構造に関する帰納的議論が可能になる。
• スケーリング $\Phi$-非消滅性が $\mathrm{vol}(B_1(\tilde{p})) \geq v > 0$ のとき自動的に成り立つという予想が成立すれば、すべての非負リッチ曲率をもつ開 $n$-多様体に対してミルナー予想が成立する。