[論文レビュー] Ricci flat left invariant Lorentzian metrics on 2-step nilpotent Lie groups

Mohamed Boucetta|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、単連結な2段階可解なノルム付きリー群におけるリッチ平坦な左不変ローレンツ計量を分類し、(2k+1)次元のハイゼンベルク群 $H_{2k+1}$ がこのような計量をもつための必要十分条件が $k=1$ であることを証明している。さらに、$2 \leq q \leq k$ の場合、$H_{2k+1}$ は符号 $(q, 2k+1-q)$ のリッチ平坦な擬リーマン計量をもつことが示され、明示的な構成と構造定数に関する代数的制約および曲率式による特徴付けが与えられている。

ABSTRACT

We determine all Ricci flat left invariant Lorentzian metrics on simply connected 2-step nilpotent Lie groups. We show that the $2k+1$-dimensional Heisenberg Lie group $H_{2k+1}$ carries a Ricci flat left invariant Lorentzian metric if and only if $k=1$. We show also that for any $2\leq q\leq k$, $H_{2k+1}$ carries a Ricci flat left invariant pseudo-Riemannian metric of signature $(q,2k+1-q)$ and we give explicite examples of such metrics.

研究の動機と目的

• 単連結な2段階可解なリー群におけるすべてのリッチ平坦な左不変ローレンツ計量を特定すること。
• これらの群におけるローレンツ的および一般符号数の場合のリッチ平坦な擬リーマン計量の分類という未解決問題を解明すること。
• 特にハイゼンベルク群 $H_{2k+1}$ に対して、そのような計量の明示的構成と存在条件の特徴付けを行うこと。
• 2段階可解なリー代数におけるリッチ平坦性の系統的解析を可能にする重要な曲率公式を確立すること。

提案手法

• 構造定数と反対称自己準同型を用いて、2段階可解なリー代数上の擬リーマン計量の一般リッチ曲率の公式を導出する。
• 擬ユークリッド空間上の反対称自己準同型のリー代数を用いて、計量の曲率性質を分析する。
• 正規直交基底と零型ベクトルを用いて、計量およびその曲率成分を分解表現で表現する。
• リッチ平坦性条件をリッチ曲率テンソルをゼロとすることで課し、構造定数に関する代数方程式系が得られる。
• ハイゼンベルク群 $H_{2k+1}$ に対して得られた方程式系を解き、リッチ平坦なローレンツ計量および高符号数計量の存在条件を特定する。
• $k \geq 2$ に対して、符号 $(q, 2k+1-q)$ で $2 \leq q \leq k$ を満たす $H_{2k+1}$ 上のリッチ平坦計量の明示的例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの2段階可解なリー群がリッチ平坦な左不変ローレンツ計量をもつのか。
• RQ2 $(2k+1)$次元のハイゼンベルク群 $H_{2k+1}$ はリッチ平坦な左不変ローレンツ計量をもつのか。もし持つなら、$k$ のどの値に対して成立するのか。
• RQ3 $2 \leq q \leq k$ の場合、$H_{2k+1}$ 上にリッチ平坦な左不変擬リーマン計量（符号 $(q, 2k+1-q)$）を構成できるか。その明示的形は何か。
• RQ4 2段階可解なリー代数の構造定数にどのような代数的条件が課されると、その左不変擬リーマン計量がリッチ平坦になるか。

主な発見

• 3次元のハイゼンベルク群 $H_3$ は、$k=1$ に対応する唯一のハイゼンベルク群 $H_{2k+1}$ で、リッチ平坦な左不変ローレンツ計量をもつ。
• $k \geq 2$ の場合、群 $H_{2k+1}$ はリッチ平坦な左不変ローレンツ計量をもたない。
• $2 \leq q \leq k$ の任意の $q$ に対して、群 $H_{2k+1}$ は符号 $(q, 2k+1-q)$ のリッチ平坦な左不変擬リーマン計量をもつ。明示的な構成が与えられている。
• このような計量の存在は、リッチ曲率式から導かれる代数方程式系によって支配されており、$q$ と $k$ の指定された条件下でのみ解が存在する。
• 単連結な2段階可解なリー群におけるすべてのリッチ平坦な左不変ローレンツ計量は完全に分類されており、次元3ではハイゼンベルク群 $H_3$ が唯一の例である。
• 座標および構造定数を用いた計量成分の明示的公式が提供されており、$\bar{t}$、$v_i$、$w_j$ を含む非自明な混合項が含まれる。