[論文レビュー] Ricci flow on Orbifold

Bing Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 50被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限個の特異点をもつコンpaktoなオーロリフォルド上でのリッチフローの基礎的理論を確立し、ペレルマンの擬局所定理とオーロリフォルドリッチフローの弱コンパクト性定理を証明する。これらの結果を応用して、特定のファノオーロリフォルド上でのケーラー＝リッチフローが、ケーラー＝アインシュタイン計量に収束することを示し、フローを用いてそのような計量の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we study the behavior of Ricci flows on compact orbifolds with finite singularities. We show that Perelman's pseudolocality theorem also holds on orbifold Ricci flow. Using this property, we obtain a weak compactness theorem of Ricci flows on orbifolds under some natural technical conditions. This generalizes the corresponding theorem on manifolds. As an application, we can use Kähler Ricci flow to find new Kähler Einstein metrics on some orbifold Fano surfaces. For example, if $Y$ is a cubic surface with only one ordinary double point or $Y$ is an orbifold Fano surface with degree 1 and every singularity on it is a rational double point of type $\A_k (1 \leq k \leq 6)$, then we can find a KE metric of $Y$ by running Kähler Ricci flow.

研究の動機と目的

• 有限個の特異点をもつコンパクトなオーロリフォルドへのペレルマンのリッチフロー理論の拡張。
• 自然な技術的条件下で、オーロリフォルドリッチフローに対する擬局所定理と弱コンパクト性定理の確立。
• これらの結果をファノオーロリフォルド上でのケーラー＝リッチフローに応用し、ケーラー＝アインシュタイン計量の存在を証明すること。
• カルビの予想のフローに基づく証明を、デュ・ヴァル特異点をもつファノオーロリフォルドへ一般化すること。
• 特定のオーロリフォルドファノ表面に対して、ケーラー＝リッチフローを用いてケーラー＝アインシュタイン計量を構成的に求める方法の提供。

提案手法

• 同じ汎関数と短縮距離枠組みを用いて、ペレルマンの擬局所定理をオーロリフォルドリッチフローへ一般化する。
• 曲率と体積の有界性の下で、フロー列の精錬を用いて、オーロリフォルド上のリッチフローに対する弱コンパクト性定理を確立する。
• ケーラー＝リッチフローに「たんた」条件を導入し、$K_Y^{-\nu}$ の正則断面の $L^2$-ノルムを含む関数の一様有界性によって定義する。
• $\alpha_{\nu,k}$-不変量を特異点の障害として用い、収束条件の検証に応用する。
• 結果 [31]、[46]、[11] を用いて、$\alpha_{\nu,1}$ と $\alpha_{\nu,2}$ を具体的に計算することで、理論を特定のオーロリフォルドに適用する。
• $\mu$-汎関数と部分的 $C^0$-推定を用いて、曲率を制御し、たんた性と $\alpha_{\nu,k}$-有界性の下で、ケーラー＝アインシュタイン計量への収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限個の特異点をもつオーロリフォルド上でのリッチフローに対して、ペレルマンの擬局所定理は成り立つか？
• RQ2 曲率と体積の有界性の下で、オーロリフォルド上でのリッチフローに対して弱コンパクト性定理を確立できるか？
• RQ3 ファノオーロリフォルド上でのケーラー＝リッチフローが、ケーラー＝アインシュタイン計量に収束するための条件は何か？
• RQ4 $\alpha_{\nu,k}$-不変量を用いて、たんた性条件を検証し、収束を保証できるか？
• RQ5 たとえば、1つの通常の二重点をもつ立方曲面や、$k \leq 6$ に対して $\mathbb{A}_k$ 特異点をもつ1次デル・ペッツォ表面といった特定のファノオーロリフォルドは、ケーラー＝リッチフローによってケーラー＝アインシュタイン計量をもつか？

主な発見

• ペレルマンの擬局所定理は、有限個の特異点をもつコンパクトなオーロリフォルド上でのリッチフローに対して成り立つ。
• 自然な曲率と体積の有界性の下で、オーロリフォルドリッチフローに対する弱コンパクト性定理が確立された。
• もし $\alpha_{\nu,1} > \frac{2}{3}$ または $\alpha_{\nu,2} > \frac{2}{3}$ かつ $\alpha_{\nu,1} > \frac{1}{2 - \frac{1}{3\alpha_{\nu,2}}}$ ならば、ファノオーロリフォルド上でのケーラー＝リッチフローはケーラー＝アインシュタイン計量に収束する。
• 1つの通常の二重点をもつ立方曲面上でのケーラー＝リッチフローは、ケーラー＝アインシュタイン計量に収束する。
• すべての $\mathbb{A}_k$ 特異点をもつ1次デル・ペッツォ表面（$k \leq 6$）上でのケーラー＝リッチフローは、ケーラー＝アインシュタイン計量に収束する。
• このようなオーロリフォルド上でのケーラー＝アインシュタイン計量の存在は、フローを用いて証明された。これはカルビの予想をオーロリフォルドの設定へ一般化したものである。