[論文レビュー] Riemann-Liouville Fractional Einstein Field Equations

Joakim Munkhammar|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論の幾何学的定式化における整数階偏導関数の代わりにリーマン・リウビルト分数階微分を用いることで、アインシュタイン場方程式の分数階一般化を提案する。この手法により、非局所的場方程式が得られ、α=1のときには標準的なアインシュタイン方程式に還元され、ニュートン的極限では分数階ポアソン方程式が導かれ、重力波方程式は時間分数階拡散波方程式に一般化され、非局所的分数階重力理論の枠組みが確立される。

ABSTRACT

In this paper we establish a fractional generalization of Einstein field equations based on the Riemann-Liouville fractional generalization of the ordinary differential operator $\partial_μ$. We show some elementary properties and prove that the field equations correspond to the regular Einstein field equations for the fractional order $α= 1$. In addition to this we show that the field theory is inherently non-local in this approach. We also derive the linear field equations and show that they are a generalized version of the time fractional diffusion-wave equation. We show that in the Newtonian limit a fractional version of Poisson's equation for gravity arises. Finally we conclude open problems such as the relation of the non-locality of this theory to quantum field theories and the possible relation to fractional mechanics.

研究の動機と目的

• リーマン・リウビルト分数階微分を用いた一般相対性理論の分数階拡張を開発すること。
• 分数階微分の記憶効果に起因する、導かれる場方程式の非局所的性質を調査すること。
• 線形化場方程式を導出し、それらが分数階拡散波方程式とどのように関係するかを示すこと。
• ニュートン的極限を検討し、重力の分数階一般化されたポアソン方程式を導出すること。
• 非局所性と量子場理論、および分数階力学の間の潜在的関連性についての未解決の問題を特定すること。

提案手法

• 一般相対性理論の幾何学的定式化における標準的偏導関数∂_μの代わりに、α ∈ (0,1) のリーマン・リウビルト分数階微分を用いる。
• 計量接続における分数階微分作用素を用いて、分数階クリストッフェル記号およびリーマン曲率テンソルを定義する。
• 分数階リーマンテンソルからリッチテンソルおよびスカラーを構成することで、分数階アインシュタイン場方程式を導出する。
• g_μν = η_μν + h_μν の仮定の下で、h_μν について一次の精度で線形化し、源を持つ分数階波動方程式を得る。
• 線形化方程式を簡略化するために、分数階ローレンツ型ゲージ条件を適用し、∂^γ_α ∂^γ_β h_μν = (8πG/c⁴) T_μν(γ) を得る。
• ゆっくりとした運動と静的な場の仮定の下でニュートン近似を実行し、場方程式の00成分を通じて分数階ポアソン方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・リウビルト分数階微分を用いて、アインシュタイン場方程式における微分作用素をどのように一般化できるか？
• RQ2 得られる分数階重力理論における非局所性の性質は何か？また、αが1に近い場合でもその非局所性はどのように維持されるか？
• RQ3 線形化場方程式は、時間分数階拡散波方程式のような既知の分数階偏微分方程式とどのように関係するか？
• RQ4 分数階場方程式のニュートン的極限は、重力の分数階版ポアソン方程式を再現するか？
• RQ5 この理論における非局所性と、量子場理論または分数階力学との間にどのような潜在的関連性があるか？

主な発見

• 分数階場方程式は、分数階がα = 1のときには標準的なアインシュタイン場方程式に還元され、一般相対性理論との整合性が確認される。
• リーマン・リウビルト分数階微分の非局所的性質に起因し、理論は本質的に非局所的である。これは計量関数の全歴史に依存する。
• 線形化領域では、場方程式は∂^γ_α ∂^γ_β h_μν = (8πG/c⁴) T_μν(γ) となり、重力的電磁気的現象に類似した一般化された分数階波動方程式となる。
• ストレssエネルギー・テンソルが消える場合、線形化方程式は∂^γ_α ∂^γ_β h_μν = 0 に簡略化され、これは拡散波方程式の分数階一般化である。
• ニュートン的極限において、場方程式の00成分から∂^γ_i ∂^γ_i ϕ ≈ 4πGρ(γ) が得られ、ρ(γ)は分数階物質密度である分数階ポアソン方程式となる。
• 分数階ポアソン方程式は、γ = 1 のときには古典的∇²ϕ = 4πGρ に還元され、正しい古典的極限が得られることを確認する。