[論文レビュー] Riemann-Roch and index formulae in twisted K-theory

Alan L. Carey, Bai‐Ling Wang|ArXiv.org|Sep 26, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ねじれたK理論におけるねじれたリーマン・ロッホ定理とねじれたインデックス公式を確立し、弦理論におけるDブレーンの幾何的モデルを提供する。B場を伴うI型およびII型弦理論におけるDブレーンの電荷が、それぞれねじれたKO理論およびねじれたK理論によって分類されることを示しており、ねじれを表す3次コhomology類を伴う下で、ねじれた幾何的サイクルとねじれた特徴類を用いて証明されている。

ABSTRACT

In this paper, we establish the Riemann-Roch theorem in twisted K-theory extending our earlier results. As an application, we prove a twisted index formula and show that D-brane charges in Type I and Type II string theory are classified by twisted KO-theory and twisted K-theory respectively in the presence of B-fields as proposed by Witten.

研究の動機と目的

• ねじれK理論の設定において、リーマン・ロッホおよびインデックス定理を拡張すること。
• B場の存在下で、ねじれた幾何的サイクルを用いたDブレーンの幾何的モデルを提供すること。
• ねじれたKホモロジーの数学的構造およびオリエンテーションのねじれの役割を明確化すること。
• 物理的仮説であるDブレーン電荷とねじれたK理論の数学的枠組みとの間の明確な関係を確立すること。
• B場を伴うI型およびII型弦理論におけるDブレーン電荷が、それぞれねじれたKO理論およびねじれたK理論によって分類されることを証明すること。

提案手法

• ねじれたKホモロジーのためのバーム＝ダグラスサイクルの一般化として、ねじれた幾何的サイクルの理論を構築する。
• ねじれたK理論におけるねじれたトム類を導入し、押し出し写像の定義を可能にする。
• ねじれたK理論におけるチャーン類を用いて、ねじれたK理論類を係数がねじれたバンドルであるコhomologyに結びつける。
• ねじれたリーマン・ロッホ公式を用いて、アティヤ＝シンガーのインデックス定理の枠組みをねじれたK理論に適用する。
• 分類空間を用いたホモトピー的可換図式とオリエンテーションデータを用いて、ねじれたK理論における押し出し写像を構成する。
• 接続およびバンドルゲリューブの曲率を用いて、ねじれたインデックスペアリングを適用し、Dブレーン電荷をねじれたK理論の元として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なねじれを伴うねじれたK理論において、リーマン・ロッホ定理をどのように一般化できるか。
• RQ2 B場が存在する場合のDブレーンの正しい幾何的モデルは何か、そしてそれはねじれたKホモロジーとどのように関係するか。
• RQ3 ねじれたK理論における押し出し写像においてDブレーン電荷はどのように変化するか、そしてオリエンテーションのねじれの役割は何か。
• RQ4 フリード＝ウィッテンの異常キャンセレーション条件の正確な数学的表現は、ねじれたSpinc構造を用いてどのように記述できるか。
• RQ5 ミナシアン＝ムーアの公式はねじれた設定においてどのように一般化されるか、そしてなぜねじれたインデックスペアリングは非対称なのであるか。

主な発見

• 本稿は、ねじれたリーマン・ロッホ公式（定理5.3）を確立し、古典的なアティヤ＝ヒルツェブルークのリーマン・ロッホ定理をねじれたK理論へ一般化した。
• ねじれたK理論における新しいねじれたトム類が構成され、法束がK-向き付けられていなくても押し出し写像の定義が可能になった。
• ねじれたインデックス公式（定理6.1）はねじれたリーマン・ロッホ定理を用いて導出され、解析的インデックスを一般化する双線形ペアリングを提供する。
• B場を伴うII型弦理論におけるDブレーン電荷が、ねじれたK理論K0(X, α)によって分類されることを示し、電荷はねじれたトム写像を介したねじれたK類の押し出しとして与えられる。
• B場を伴うI型弦理論におけるDブレーン電荷が、実ベクトルバンドルとねじれたスピン構造を用いてねじれたKO理論KO∗(X, α)によって分類されることを示した。
• フリード＝ウィッテンの異常キャンセレーション条件 ι∗[α] + W3(νM) = 0 が、Dブレーン世界面M上でねじれたSpinc構造の存在と同値であることが示され、Dブレーン電荷が適切に定義されることを保証する。