[論文レビュー] Riemannian Foliations and the Topology of Lorentzian Manifolds

Kordian Lärz|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平行な光的ベクトル場を備えたローレンツ多様体の位相的構造を調査し、このような構造が余次元1のリーマン的フォリエーションを誘導することを示している。非負の横断的リッチ曲率およびコンパクト性の条件下で、1番目のベッチ数に対する鋭い上限が得られる：コンパクト多様体では $1 \leq b_1 \leq \dim X$、非コンパクト多様体では $0 \leq b_1 \leq \dim X - 1$ であり、これらは最適であることが示された。さらに、有限基本群をもつコンパクトな葉に対するホロノミー表現の分類もなされている。

ABSTRACT

A parallel lightlike vector field on a Lorentzian manifold $X$ naturally defines a foliation $\mathcal{F}$ of codimension one. If either all leaves of $\mathcal{F}$ are compact or $X$ itself is compact admitting a compact leaf and the (transverse) Ricci curvature is non-negative then a Bochner type argument implies that the first Betti number of $X$ is bounded by $1 \leq b_{1} \leq \dim X$ if $X$ is compact and $0 \leq b_{1} \leq \dim X -1$ otherwise. We show that these bounds are optimal and depending on the holonomy of $X$ we obtain further results. Finally, we classify the holonomy representations for those $X$ admitting a compact leaf with finite fundamental group.

研究の動機と目的

• 平行な光的ベクトル場を有するローレンツ多様体の位相的制約を分析すること。
• コンパクト性および非負の横断的リッチ曲率の下で、1番目のベッチ数 $b_1$ の鋭い上限を確立すること。
• 有限基本群をもつコンパクトな葉をもつ時空のホロノミー表現を分類すること。
• pp波および適切な時空の文脈において、フォリエーション理論、ホロノミー、ローレンツ幾何学の相関関係を調査すること。

提案手法

• 本稿は、平行な光的部分束 $\Xi$ の直交補空間から得られる標準的なスクリーン bundle $\mathcal{S}$ を用い、これに誘導されたリーマン計量および接続を備える。
• $\Xi$ に直交する分布により余次元1のフォリエーション $\mathcal{X}^\perp$ を定義し、その基本コホモロジー $H^k_B(\mathcal{X}^\perp)$ を研究する。
• 横断的リッチ曲率およびスクリーン bundle のホロノミーに、ボッハナー型の議論を適用してベッチ数を制約する。
• ギシン序列およびメイヤー＝ビエトロイスの議論を用いて、フォリエーションのコホモロジーと多様体のグローバルコホモロジーとの関係を関係づける。
• 複素構造のため、本稿は $\nabla^S$-平行なほぼヘルミート構造と完全なベクトル場 $Z$ を用いて、普遍被覆上にコーン計量およびほぼハルミート構造を構成する。
• $d(g^L(Z,\cdot))|_{\mathcal{L}^\perp} \in \Lambda^{1,1}_B\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}$ のとき、ほぼ複素構造の積分可能性を、ニエンイウステンソルが消えることにより確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平行な光的ベクトル場と非負の横断的リッチ曲率をもつローレンツ多様体にどのような位相的制約が生じるか？
• RQ2 多様体またはその葉のコンパクト性仮定が、時空のベッチ数にどのように影響するか？
• RQ3 水平的時空がその普遍被覆上に複素構造をもつための条件は何か？
• RQ4 このような時空において、有限基本群をもつコンパクトな葉のホロノミー表現はどのように分類されるか？
• RQ5 フォリエーションの基本コホモロジー群は、周囲多様体の特異コホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• 与えられた曲率およびコンパクト性仮定の下で、コンパクトな多様体では $1 \leq b_1 \leq \dim X$、非コンパクトな多様体では $0 \leq b_1 \leq \dim X - 1$ が成り立つ。
• これらの $b_1$ の上限は、本稿で明示的な構成により最適であることが示された。
• コンパクトな $X$ に対しては $b_2(X) \leq \dim H^2_B(\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}) + 1$、非コンパクトな $X$ で葉がコンパクトな場合には $b_2(X) \in \{\dim H^2_B(\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}) - 1, \dim H^2_B(\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp})\}$ が成り立つ。
• スクリーン bundle のホロノミーが $SU(n)$ で $n \geq 3$ のとき、$b_2(X)$ の上限における $\dim H^2_B$ を $\dim H^{1,1}_B$ に置き換えられる。
• ホロノミーが $Sp(n)$ で $n \geq 1$ のとき、$\dim H^2_B$ は $\dim H^{1,1}_B + 2$ に置き換えられる。
• $d(g^L(Z,\cdot))|_{\mathcal{L}^\perp} \in \Lambda^{1,1}_B\mathcal{X}|_{\mathcal{L}^\perp}$ かつ $Z$ が完全なとき、$X$ の普遍被覆は複素構造をもつ。