[論文レビュー] Riemannian Geometry of Lie Algebroids

Mohamed Boucetta|ArXiv.org|Jun 21, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体の一般化としてリーマン的リー代数的束を導入し、古典的なリーマン幾何学的道具（リーマン接続、測地線の流れ、曲率、ヤコビ場など）をリー代数的束の設定に拡張する。主な貢献は、ハダマード＝カルタンの定理の一般化である：非正の断面曲率をもつ完全なリーマン的リー代数的束は可積分であり、指数写像によってそのウェイン群に微分同相である。

ABSTRACT

We introduce Riemannian Lie algebroids as a generalization of Riemannian manifolds and we show that most of the classical tools and results known in Riemannian geometry can be stated in this setting. We give also some new results on the integrability of Riemannian Lie algebroids.

研究の動機と目的

• リーマン多様体からリーマン幾何学的道具（接続、測地線、曲率など）をリー代数的束の設定に拡張すること。
• コシュール型の公式を用いて、リーマン的リー代数的束上のリーマン接続を定義し、研究すること。
• ハダマード＝カルタンの定理をリーマン的リー代数的束に一般化し、非正の曲率のもとで可積分性を確立すること。
• リーマン的リー代数的束の可積分性における曲率とホロノミーの役割を調査すること。
• リーマン＝ポアソン多様体を介して、リー代数的束上のリーマン構造とポisson幾何学を結びつけること。

提案手法

• バンドル上の各ファイバーに内積を備えたリー代数的束としてリーマン的リー代数的束を定義する。
• 古典的ケースに類似したコシュール型の公式を用いて、リーマン的リー代数的束上のリーマン接続を構成する。
• 測地線の流れを研究し、発散を計算するために、代数的束の全空間にササキ計量を導入する。
• エネルギーの第一および第二変分公式を導出し、代数的束設定における測地線に沿ったヤコビ場を定義する。
• リーマン的リー代数的束の曲率テンソルおよび断面曲率を定義し、古典的リーマン曲率概念を一般化する。
• クリャイン＝フェルナンデスの可積分性障害（特に特徴的類Hの消滅）を用いて、非正の曲率のもとで可積分性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体からリーマン接続および関連する幾何学的道具をリー代数的束に一般化できるか？
• RQ2 リーマン的リー代数的束の文脈において、測地線の流れと発散はどのように振る舞い、古典的なリウヴィルの定理とはどのように異なるか？
• RQ3 断面曲率やヤコビ場といった曲率概念をリー代数的束の設定でどのように定義し、どのように用いることができるか？
• RQ4 リーマン的リー代数的束が可積分であるための条件は何か？また、曲率はその可積分性にどのように影響するか？
• RQ5 リーマン＝ポアソン多様体とその双対余接リー代数的束の可積分性の関係は何か？

主な発見

• リーマン的リー代数的束上のリーマン接続は、リーマン部分被覆におけるO’Neill型の公式を満たす。
• ササキ計量に関する測地線の流れの発散は一般には消えないため、古典的なリウヴィルの定理とは対照的である。
• エネルギーの第一および第二変分公式、およびヤコビ場の概念が、リー代数的束の設定にうまく一般化された。
• 特徴的類Hが消えるリーマン的リー代数的束は、クリャイン＝フェルナンデスの可積分性基準により可積分であることが示された。
• 非正の断面曲率をもつ完全なリーマン的リー代数的束は可積分であり、代数的束からウェイン群への指数写像は微分同相写像である。
• リーマン接続を介してリーマン計量と整合するポアソン構造をもつリーマン＝ポアソン多様体は、可積分な余接リー代数的束を導く。