[論文レビュー] Riemannian Holonomy and Algebraic Geometry

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Feb 18, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 31被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、特異的ホロノミーを持つ多様体、特にカラビ＝ヤウ、ハイパーケーラー、および例外的ホロノミー多様体の観点から、リーマン幾何学と代数幾何学の深い相互作用を探求する。ベルジャのホロノミー群の分類が、リッチ平坦計量や平行形式といった標準的幾何構造を生み出すこと、それらが代数的多様体に豊富で制約のある幾何をもたらすことを示し、これらの構造がコンパクトかつ単連結多様体において自然に現れることを示す。これにより、ホロノミー表現とホッジ理論を通じて微分幾何学と代数幾何学が結びつけられる。

ABSTRACT

This survey paper is devoted to Riemannian manifolds with special holonomy. To any Riemannian manifold of dimension n is associated a closed subgroup of SO(n), the holonomy group; this is one of the most basic invariants of the metric. A famous theorem of Berger gives a complete (and rather small) list of the groups which can appear. Surprisingly, the compact manifolds with holonomy smaller than SO(n) are all related in some way to Algebraic Geometry. This leads to the study of special algebraic varieties (Calabi-Yau, complex symplectic or complex contact manifolds) for which Riemannian geometry rises interesting questions.

研究の動機と目的

• ホロノミー群がリーマン幾何学と代数幾何学を結ぶ役割を明確にすること。
• 特殊ホロノミー群（例：SU(m)、Sp(r)、G₂、Spin(7)）がコンパクトかつ単連結多様体上に標準的幾何構造をもたらす仕組みを示すこと。
• これらの幾何的制約が、例えば射影性や正則形式の存在といった強い代数的性質を意味することを示すこと。
• ホロノミー、曲率、コホモロジーの関係を、特にカラビ予想とケーラー幾何学の観点から明らかにすること。
• 代数幾何学者が熟知する代数的多様体のクラスと結びつけることで、ホロノミーの高度なトピックを理解しやすくすること。

提案手法

• リーマン多様体のホロノミー群を定義するために、レヴィチビタ接続と平行移動を用いる。
• デラームの分解定理を適用して、ホロノミーの研究を既約かつ単連結多様体に還元する。
• ベルジャの定理を適用して、既約かつ非対称なリーマン多様体に対する可能なホロノミー群を分類する。
• 特殊ホロノミー群（例：SU(m)、Sp(r)、G₂、Spin(7)）が平行微分形式および複素構造の存在を意味することを分析する。
• ホッジ理論とケーラー円錐を用いて、ラインバンドルのチャーン類がケーラー類および豊富類にどのように関係するかを関係づける。
• コルダイラ埋め込み定理を適用して、ケーラー類が射影性を意味することを示し、特にH^{2,0} = 0のときを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊ホロノミー群は、コンパクトかつ単連結なリーマン多様体の幾何学的・位相的性質をどのように制約するか？
• RQ2 ホロノミーがSU(m)、Sp(r)、G₂、またはSpin(7)である多様体は、代数幾何学においてどのように自然に現れるか？
• RQ3 平行形式（例：正則体積形式）の存在と、それらの背後にある多様体の代数的性質との関係は何か？
• RQ4 ケーラー円錐とホッジ分解は、コンパクトケーラー多様体の射影性をどのように決定するか？
• RQ5 カラビ予想は、特殊ホロノミー多様体を代数的多様体として実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• ベルジャの定理は、既約かつ非対称なリーマン多様体に対するすべての可能なホロノミー群を分類し、可能性のある選択肢が有限個であることを示している。
• カイラビ＝ヤウ（ホロノミーSU(m)）、ハイパーケーラー（ホロノミーSp(r)）、G₂またはSpin(7)多様体といった特殊ホロノミーを持つ多様体は、平行微分形式および複素構造を備えている。
• コンパクトケーラー多様体にSU(m)ホロノミーが存在する場合、正則体積形式（型(m,0)）の存在は、カラビ予想によるヒュウの証明によりリッチ平坦性を意味する。
• H^{2,0}(X) = 0 ならば、ケーラー円錐はH^{1,1}_Rにおいて開であり、整数類を含むため、コルダイラ埋め込み定理により多様体は射影的である。
• コンパクトケーラー多様体上のラインバンドルLが豊富であるための必要十分条件は、その第一チャーン類c₁(L)がケーラー類であることである。これにより代数幾何学と微分幾何学の深い関係が確立される。
• ホロノミー群は接空間上に既約に作用し、単連結多様体ではホロノミー群と制限ホロノミー群が一致するため、分類が簡略化される。