[論文レビュー] Riemannian metrics having common geodesics with Berwald metrics

Vladimir S. Matveev|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、任意のベルワルド・フィン슬ラ計量が、それとアフィン同値なリーマン計量をもつことを確立している。これは、厳密凸計量に対しては既知であった結果を、非厳密凸の場合へ一般化したものである。さらに、本稿では、完全性の下で、本質的にベルワルド計量とリーマン計量との間の測地線同値性がアフィン同値性を含意することを示し、また、射影的に平坦なベルワルド計量は常にミンコフスキー計量であることを示している。これはヒルベルトの第4問題のフィンスラ版に相当する。

ABSTRACT

In Theorem 1, we generalize the results of Szabo for Berwald metrics that are not necessary strictly convex: we show that for every Berwald metric F there always exists a Riemannian metric affine equivalent to F. As an application we show (Corollary 3) that every Berwald projectively flat metric is a Minkowski metric; this statement is a "Berwald" version of Hilbert's 4th problem. Further, we investigate geodesic equivalence of Berwald metrics. Theorem 2 gives a system of PDE that has a (nontrivial) solution if and only if the given essentially Berwald metric admits a Riemannian metric that is (nontrivially) geodesically equivalent to it. The system of PDE is linear and of Cauchy-Frobenius type, i.e., the derivatives of unknown functions are explicit expressions of the unknown functions. As an application (Corollary 2), we obtain that geodesic equivalence of an essentially Berwald metric and a Riemannian metric is always affine equivalence provided both metrics are complete.

研究の動機と目的

• 厳密凸ベルワルド計量とリーマン計量との間のアフィン同値性に関するシュバツォーの結果を、非厳密凸の場合へ一般化すること。
• 本質的にベルワルド計量とリーマン計量との間で、リーマン計量が測地線同値またはアフィン同値となる条件を解明すること。
• 射影的に平坦なベルワルド計量が必然的にミンコフスキー計量であることを示し、フィンスラ版のヒルベルトの第4問題を確立すること。
• 本質的にベルワルド計量と非自明な測地線同値なリーマン計量が存在するための偏微分方程式系（PDE）を導出すること。
• 完全性の下で、本質的にベルワルド計量とリーマン計量との間の測地線同値性がアフィン同値性を含意することを証明すること。

提案手法

• [MRTZ] の構成を参考にし、非厳密凸の場合に適応した手法を用いて、与えられたベルワルド計量 $ F $ とアフィン同値なリーマン計量 $ g $ を構成する。
• 測地線同値な非自明なリーマン計量が存在するための、線形でカウチ＝フロベニウス型の偏微分方程式系（式6）を導出する。
• 可動度（degree of mobility）の概念と [KM] の結果を用いて、偏微分方程式系の解の構造を解析し、特に対称テンソル $ a^{ij} $ とベクトル場 $ heta^i $ の振る舞いに注目する。
• 古典的ベルトラミの定理を適用し、平坦計量 $ \bar{g} $ と測地線同値なリーマン計量 $ g $ が同時にベルワルド計量 $ F $ とアフィン同値であるならば、$ g $ は一定曲率を持つことを示す。
• 完全性の下で、$ g $ のホロノミー群が単位球面上で推移的に作用するか、あるいは $ g $ が平坦である場合を除き、$ F $ は平行移動不変でなければならない。これにより、$ F $ はミンコフスキー計量であることが導かれる。
• 偏微分方程式系の解の線形独立性とワイエルの定理を用いて、補助方程式における定数 $ B $ が消えることを証明し、測地線同値性がアフィン同値性を含意することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のベルワルド計量は、厳密凸性を仮定しなくても、アフィン同値なリーマン計量をもつのか？
• RQ2 本質的にベルワルド計量と測地線同値なリーマン計量が、アフィン同値でない条件は何か？
• RQ3 射影的に平坦なベルワルド計量は、フィンスラ版のヒルベルトの第4問題として、必然的にミンコフスキー計量であるのか？
• RQ4 本質的にベルワルド計量と非自明な測地線同値なリーマン計量が存在するための偏微分方程式系は何か？
• RQ5 計量の完全性が、本質的にベルワルド計量とリーマン計量との間の測地線同値性がアフィン同値性を含意することを保証するのか？

主な発見

• 任意のベルワルド計量は、厳密凸性を仮定しなくても、アフィン同値なリーマン計量をもつ。
• リーマン計量が本質的にベルワルド計量と測地線同値であり、かつ両者が完全であるならば、それらはアフィン同値でもある。
• 射影的に平坦なベルワルド計量は、ミンコフスキー計量でなければならない。これはヒルベルトの第4問題のフィンスラ版に相当する。
• 本質的にベルワルド計量と非自明な測地線同値なリーマン計量が存在することは、カウチ＝フロベニウス型の線形偏微分方程式系の可解性と同値である。
• 測地線同値性を記述する偏微分方程式系は、関連する対称テンソルとベクトル場が特定の曲率関連の恒等式を満たす場合にのみ解をもつ。また、補助方程式における定数 $ B $ はゼロでなければならない。
• 測地線同値性が非自明である場合、リーマン計量の可動度は少なくとも3以上である。これは、同値計量の豊かな構造を示している。