[論文レビュー] Right-angled Artin groups as normal subgroups of mapping class groups

Matt Clay, Johanna Mangahas+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、Bestvina–Bromberg–Fujiwaraの射影複体に対する新しいバージョンの風車装置を開発することで、写像類群、ブレード群、トーリー群において、非自由な右直角アーティン群が正規部分群として初めて構成された。主な貢献は、射影複体上の特定の「回転」作用の下で、群が安定化された頂点群の自由積に同型であることを示す技術的定理であり、これにより無限自由積 $F_\infty \times F_\infty$、$F_\infty \times \mathbb{Z}$、$F_\infty \times F_\infty \times \mathbb{Z}$ を含む明示的な同型型が得られ、正規部分群構造や合同部分群への応用が可能となる。

ABSTRACT

We construct the first examples of normal subgroups of mapping class groups that are isomorphic to non-free right-angled Artin groups. Our construction also gives normal, non-free right-angled Artin subgroups of other groups, such as braid groups and pure braid groups, as well as many subgroups of the mapping class group, such as the Torelli subgroup. Our work recovers and generalizes the seminal result of Dahmani-Guirardel-Osin, which gives free, purely pseudo-Anosov normal subgroups of mapping class groups. We give two applications of our methods: (1) we produce an explicit proper normal subgroup of the mapping class group that is not contained in any level $m$ congruence subgroup, and (2) we produce an explicit example of a pseudo-Anosov mapping class with the property that all of its even powers have free normal closure and its odd powers normally generate the entire mapping class group. The technical theorem at the heart of our work is a new version of the windmill apparatus of Dahmani-Guirardel-Osin, which is tailored to the setting of group actions on the projection complexes of Bestvina-Bromberg-Fujiwara.

研究の動機と目的

• 写像類群の正規部分群として非自由な右直角アーティン群の明示的例を構成すること。
• 擬アイソメトリック要素の自由正規閉包に関する Dahmani–Guirardel–Osin の結果を、非自由な右直角アーティン群へと拡張すること。
• 合同部分群や擬アイソメトリック要素のべきによる正規生成に関する、正規部分群構造に関する未解決問題を解消すること。
• 頂点が非連結な部分曲面に対応する射影複体へと風車装置を一般化すること。
• さまざまな写像類群部分群における正規部分群として現れる右直角アーティン群の同型型の体系的分類を提供すること。

提案手法

• Bestvina–Bromberg–Fujiwara の射影複体における群の作用に適した、風車装置の新しいバージョンを開発すること。
• 頂点が非連結な部分曲面に対応する射影複体における「回転」作用を定義し、正規部分群の構成を可能にする。
• 射影複体の理論を用いて、十分に大きなサポートを持つ写像類の高べきの正規閉包を分析すること。
• 技術的定理 1.6 を適用し、回転作用の下で群が安定化された頂点群の自由積に同型であることを確立すること。
• マルチカーブへのサーストン構成を用いて、制御可能な正規閉包を持つ擬アイソメトリック写像類を明示的に構成すること。
• 曲面の二面体対称性を活用し、特に定理 1.5 の証明において特定の要素のべきの正規閉包を制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自由な右直角アーティン群が写像類群の正規部分群として現れ得るか。その場合、生成写像類にどのような条件が必要か。
• RQ2 写像類群、純ブレード群、トーリー群において、どのような同型型の右直角アーティン群が正規部分群として実現可能か。
• RQ3 任意のレベル $m$ の合同部分群に含まれない写像類群の正規部分群が存在するか。その場合、どのように明示的に構成できるか。
• RQ4 擬アイソメトリック写像類に対して、その奇数乗または偶数乗の正規閉包が、写像類群全体または無限ランクの自由群に一致する条件は何か。
• RQ5 サポートが十分に大きいとき、写像類の高べきの正規閉包の正確な構造は何か。

主な発見

• この論文は、写像類群において非自由な右直角アーティン群を14個、自由積 $F_\infty$、$F_\infty \times F_\infty$、$F_\infty \times \mathbb{Z}$、$F_\infty \times F_\infty \times \mathbb{Z}$ として初めて構成した。
• 十分に大きな偶数乗の擬アイソメトリック写像類 $f$ の正規閉包は、無限ランクの自由群 $F_\infty$ に同型である。
• 特定の擬アイソメトリック要素 $h$ の十分に大きな奇数乗の正規閉包は、写像類群 $\operatorname{Mod}(S_g)$ 全体に一致する。
• この論文は、任意のレベル $m$ の合同部分群に含まれない明示的な写像類群の正規部分群を構成し、Lanier と第3著者の質問に答えている。
• 特定の擬アイソメトリック要素 $h$ に対して、十分に大きな奇数乗は $\operatorname{Mod}(S_g)$ を正規生成するが、十分に大きな偶数乗は自由群 $F_\infty$ に同型な正規閉包を持つことが示された。
• この手法はトーリー群や純ブレード群にも適用可能であり、すべての15種類の同型型（自由群を含む）が、これらの群における正規部分群として現れることが示された。