[論文レビュー] Right Hom-alternative algebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、乗法的右ホム代数的代替代数の基礎的性質を確立し、左ホム代替性を仮定せずにホム-パワー代数的およびホム-ジョルダン形式的であることを証明する。ホム版のアルバート分解とムーファン恒等式を導入し、左ホム代替的でもなく右代替的でもない非同型な無限族の右ホム代替的代数を構成する。

ABSTRACT

It is shown that every multiplicative right Hom-alternative algebra is both Hom-power associative and Hom-Jordan admissible. Multiplicative right Hom-alternative algebras admit Albert-type decompositions with respect to idempotents. Multiplication operators defined by idempotents in right Hom-alternative algebras are studied. Hom-versions of some well-known identities in right alternative algebras are proved.

研究の動機と目的

• 乗法的右ホム代替的代数の構造的性質を調査し、古典的代替代数の結果をホム代数の文脈へ拡張する。
• 乗法的右ホム代替的代数が左ホム代替性を仮定しなくてもホム-パワー代数的かつホム-ジョルダン形式的であることを示す。
• イデムポテンスを用いて、アルバートの分解定理をホム代数の文脈へ一般化する。
• 右ホム代替的代数において、ムーファン恒等式やホム-タイクミュラー恒等式といった古典的恒等式のホム版を確立する。
• 左ホム代替的でもなく右代替的でもない乗法的右ホム代替的代数の新しい例を構成し、従来のクラスよりも厳密に大きいクラスであることを示す。

提案手法

• ホム結合子の定義 $\text{as}(x,y,z) = (xy)\alpha(z) - \alpha(x)(yz)$ を用い、恒等式 $\text{as}(x,y,y) = 0$ により右ホム代替的代数を定義する。
• 自己弱準同型によるねじれ構成を適用し、既存の代数から新しい右ホム代替的代数を生成する。これは既知の構成結果を一般化する。
• 線形化技術と代数的恒等式（特にホム-タイクミュラー恒等式 $\text{as}(x,y,z) + \text{as}(y,z,x) + \text{as}(z,x,y) = 0$）を用いて、新たな恒等式を導出する。
• ホムイデムポテンス $e$（$e^2 = \alpha(e)$ を満たす）の概念を導入し、古典的代替代数におけるアルバートの分解と類似した分解定理を定義する。
• ホム結合子の操作と右ホム代替的恒等式 $\text{as}(x,y,y) = 0$ の線形化を組み合わせることで、ホム-ムーファン恒等式を証明する。
• パrametric構成を用いて、非同型な乗法的右ホム代替的代数の無限族を構成し、それらが左ホム代替的でも右代替的でもないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的右ホム代替的代数はホム-パワー代数的であるか？左ホム代替性に依存せずに直接証明可能か？
• RQ2 すべての乗法的右ホム代替的代数はホム-ジョルダン形式的であるか？左ホム代替性を仮定しなくても成立するか？
• RQ3 ホムイデムポテンスを用いてアルバートの分解定理をホム代数の文脈に一般化できるか？
• RQ4 右ホム代替的代数において、ムーファン恒等式のような古典的恒等式のホム版はどのようなものがあるか？
• RQ5 左ホム代替的でもなく右代替的でもない乗法的右ホム代替的代数は存在するか？また、それらはどのように構成できるか？

主な発見

• すべての乗法的右ホム代替的代数は、定理3.2における短い直接的証明によりホム-パワー代数的である。
• 左ホム代替性を仮定しなくても、すべての乗法的右ホム代替的代数はホム-ジョルダン形式的である。これは定理4.3で示された。
• ホムイデムポテンスに関連する成分への分解が、乗法的右ホム代替的代数に対して一般化されたアルバートの分解として成立する。これは命題5.5で確立された。
• 右ホム代替的代数において、ムーファン恒等式のホム版とホム-タイクミュラー恒等式のホム版が、体系的な代数的操作によって有効であることが示された。
• パrametric構成を用いて、非同型な乗法的右ホム代替的代数の無限族が構成され、それぞれが左ホム代替的でも右代替的でもないことが例2.9で示された。
• 右ホム代替的代数におけるホムイデムポテンスに由来する乗法的作用素は、古典的代替代数におけるそれらと類似した構造的性質を示す。これは第6節で研究された。