[論文レビュー] Hom-Maltsev, Hom-alternative, and Hom-Jordan algebras

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 35被引用数 29

ひとこと要約

この論文は、古典的な非結合的代数のホモタイプ一般化として、ホモ・マルツェフ代数、ホモ・代数的代数、ホモ・ジョルダン代数を導入し、新しい定義のもとでホモ・代数的代数がホモ・マルツェフ適性およびホモ・ジョルダン適性を示すことを確立している。また、ホモ・ムーファン恒等式を証明し、代数的自己準同型によるねじれを用いて、代数的代数の主要な構造的性質をホモ設定に一般化している。

ABSTRACT

Hom-Maltsev(-admissible) algebras are defined, and it is shown that Hom-alternative algebras are Hom-Maltsev-admissible. With a new definition of a Hom-Jordan algebra, it is shown that Hom-alternative algebras are Hom-Jordan-admissible. Hom-type generalizations of some well-known identities in alternative algebras, including the Moufang identities, are obtained.

研究の動機と目的

• 定義の恒等式を自己写像（ねじれ写像）でねじることにより、マルツェフ代数、代数的代数、ジョルダン代数のホモタイプ一般化を構築すること。
• ホモ・代数的代数がホモ・マルツェフ適性を示すことを確立し、古典的な結果（代数的代数がマルツェフ適性を示す）をホモ設定に一般化すること。
• ホモ・代数的代数がホモ・ジョルダン適性を示すようなホモ・ジョルダン代数の新しい定義を導入し、古典的なジョルダン適性の代数的代数への拡張を実現すること。
• ホモ・ムーファン恒等式を、ホモ・代数的代数設定において古典的ムーファン恒等式の類似物として導出すること。

提案手法

• 自己写像 α を用いてマルツェフ恒等式をねじることによりホモ・マルツェフ代数を定義し、マルツェフ代数およびホモ・リー代数を一般化すること。
• ホモ・結合子を定義し、ホモ・代数的代数をホモ・結合子が交代的であるような代数として定義すること。
• ホモ・代数的代数から、交換子ホモ代数構成を用いてホモ・マルツェフ代数を構成し、ホモ・マルツェフ適性を証明すること。
• 任意のホモ・代数的代数のプラスホモ代数がホモ・ジョルダン代数であるような、新しいクラスのホモ・ジョルダン代数を定義すること。
• ホモ・マルツェフ代数のクラスが、導来ホモ代数構成および任意の代数自己準同型によるねじれに関して閉じていることを証明すること。
• ホモ・結合子およびホモ・結合子の交代性を用いて、古典的証明をホモ設定に適応させることにより、ホモ・ムーファン恒等式を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモ設定においてマルツェフ適性の概念を一般化できるか。すなわち、ホモ・代数的代数が交換子構成によってホモ・マルツェフ代数を導けるか。
• RQ2 ホモ・代数的代数がホモ・ジョルダン適性を示すようなホモ・ジョルダン代数の定義は存在するか。これは、古典的な代数的代数のジョルダン適性に類似している。
• RQ3 ホモ・代数的代数は、古典的ムーファン恒等式に類似したホモ・ムーファン恒等式を満たすか。
• RQ4 ホモ・マルツェフおよびホモ・ジョルダン適性の性質は、代数自己準同型 α によるねじれによって保存されるか。
• RQ5 ホモ・代数的代数を支配する構造的恒等式（例：ホモ・ムーファン恒等式）は何か。

主な発見

• ホモ・代数的代数はホモ・マルツェフ適性を示す：任意のホモ・代数的代数の交換子ホモ代数はホモ・マルツェフ代数である。
• ホモ・ジョルダン代数の新しい定義を導入した。これにより、任意のホモ・代数的代数のプラスホモ代数はホモ・ジョルダン代数となり、ホモ・ジョルダン適性が確立された。
• ホモ・マルツェフ恒等式は導来ホモ代数構成および任意の代数自己準同型 α によるねじれに関して保存される。ホモ・マルツェフ代数は、この操作に関して閉じている。
• ホモ・ムーファン恒等式はホモ・代数的代数に成立する：((xy)α(x))α²(z) = α²(x)(α(y)(xz))、((zx)α(y))α²(x) = α²(z)(α(x)(yx))、および α((xy)(zx)) = α²(x)((yz)α(x))。
• 例から、ホモ・代数的代数は非ホモ・リーであるホモ・マルツェフ代数を生成できること、またホモ・フレキシブルでホモ・マルツェフ適性を示す代数はホモ・代数的代数またはマルツェフ適性を示さないものも存在することが示された。
• 3×3 ヘルミート的オクタニオン行列の27次元例外的単純ジョルダン代数は、新しい構成法により非ジョルダン的ホモ・ジョルダン代数を生成する。