[論文レビュー] Rigidity of gradient Ricci Solitons

Peter Petersen, William Wylie|ArXiv.org|Oct 16, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、勾配リッチソリトンが、アインシュタイン多様体上の平坦なバンドルに分解可能であるという剛性を示す条件を確立する。縮小または拡大する勾配ソリトンが剛性であるための必要十分条件は、スカラー曲率が定数であり、径方向の断面曲率が消えることである。さらに、この剛性を示すために追加の曲率条件が提示される。

ABSTRACT

We define a gradient Ricci soliton to be rigid if it is a flat bundle $% N imes_Γ\mathbb{R}^{k}$ where $N$ is Einstein. It is known that not all gradient solitons are rigid. Here we offer several natural conditions on the curvature that characterize rigid gradient solitons. Other related results on rigidity of Ricci solitons are also explained in the last section.

研究の動機と目的

• 剛性勾配リッチソリトン（アインシュタイン多様体上の平坦なバンドルとして定義される）を特徴付ける曲率条件を同定すること。
• コンパクトなソリトンに限らない非コンパクトソリトンへの剛性結果の拡張、特に高次元における応用を目的とすること。
• スカラー曲率と径方向曲率が剛性を決定づける役割を明確にすること。
• Liouville型定理を用いて、Naberのギャップ定理などの既存結果の別証明を提供すること、特にf-ラプラシアンに関するもの。
• 定常および拡大ソリトンにおける体積成長と曲率の上限に関するギャップ定理を確立すること。

提案手法

• 剛性、径方向曲率、スカラー曲率を結びつける新しい構造方程式を導出：$\nabla_{\nabla f}\mathrm{Ric} + \mathrm{Ric} \circ (\lambda I - \mathrm{Ric}) = R(\cdot,\nabla f)\nabla f + \frac{1}{2}\nabla_\cdot\nabla\mathrm{scal}$。
• f-ラプラシアンに関する$L^\alpha$ Liouville定理を適用し、成長が制御された非負の下調和関数が定数であることを示す。
• 適切に選んだテスト関数を用いた部分積分を用いて、曲率量の消滅を導出する。
• スカラー曲率と$|\nabla f|^2$に対して$L^\alpha$ Liouville定理を適用し、曲率と体積成長の条件の下で定数性を導出する。
• 曲率の上限と測度の成長推定値を組み合わせることでギャップ定理を確立する。特に測度$dm = e^{-f}d\mathrm{vol}_g$を対象とする。
• $\Delta_f(\mathrm{scal})$と$\Delta_f(|\nabla f|^2)$の振る舞いを解析し、非負性と有界性の下で剛性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配リッチソリトンが、常に平坦なバンドルとしてのアインシュタイン多様体上に分解可能である（すなわち剛性である）ための曲率条件は何か？
• RQ2 非コンパクトな縮小または拡大ソリトンにおいて、スカラー曲率が定数であり、径方向に平坦（$\mathrm{sec}(E,\nabla f) = 0$）であれば、剛性が保証されるか？
• RQ3 $0 \leq \mathrm{Ric} \leq \lambda g$や調和的曲率テンソルといった曲率の上限が、剛性をどのように示すか？
• RQ4 測度$dm = e^{-f}d\mathrm{vol}_g$の体積成長がどのような条件下で、定常または拡大ソリトンがアインシュタイン的になるか？
• RQ5 f-ラプラシアンに関するLiouville型定理が、ソリトン幾何における剛性やギャップ定理の別証明にどの程度有効か？

主な発見

• 縮小または拡大する勾配リッチソリトンが剛性であるための必要十分条件は、スカラー曲率が定数であり、径方向に平坦（$\mathrm{sec}(E,\nabla f) = 0$）であることである。
• $\mathrm{Ric} \geq 0$かつ$\mathrm{sec}(E,\nabla f) = 0$であれば、ソリトンは剛性であり、スカラー曲率は定数である。
• 縮小ソリトンにおいて$0 \leq \mathrm{Ric} \leq \lambda g$が成り立つと、スカラー曲率が定数であることが示され、Naberの結果の別証明が得られる。
• $\mathrm{scal} \geq n\lambda$ならばソリトンはアインシュタイン的であり、$\mathrm{scal} \leq 0$ならば$\mathrm{scal}$は定数である。
• 有界なスカラー曲率と部分二次体積成長（$dm$-体積）を満たす定常ソリトンに対して、$\lim_{r\to\infty} \frac{1}{r^2} \int_{B(p,r)} e^{-f} d\mathrm{vol}_g = 0$が成り立つならば、ソリトンはリッチ平坦である。
• f-ラプラシアンに関する$L^\alpha$ Liouville定理から、$\Delta_f(u) \geq 0$かつ$u$が成長条件を満たすならば$u$は定数であることが従い、これが曲率の上限の下での剛性の証明に用いられる。