[論文レビュー] Rigidity of Julia sets for Henon type maps

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 56被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{C}^2$ 上のヘノン型写像およびコン pact カラーマン多様体上の自己同型について、ジュリア集合の剛性を確立する。具体的には、質量 1 の正の $dd^c$-閉 $(1,1)$-形式 $T_+$ がジュリア集合上に台を持つ唯一のものであることを証明する。この結果は、高次元動的系へと拡張可能であり、擬凸的関数論とコhomology的解析に依拠しており、等分布およびネヴァンリンナ理論への応用を含む。

ABSTRACT

We prove that the Julia set of a Henon type automorphism on C^2 is very rigid: it supports a unique positive ddc-closed current of mass 1. A similar property holds for the cohomology class of the Green current associated with an automorphism of positive entropy on a compact Kaehler surface. Relations between this phenomenon, several quantitative equidistribution properties and the theory of value distribution will be discussed. We also survey some rigidity properties of Henon type maps on C^k and of automorphisms of compact Kaehler manifolds.

研究の動機と目的

• ヘノン型写像の $\mathbb{C}^2$ 上におけるジュリア集合に台を持つ、質量 1 の正の $dd^c$-閉 $(1,1)$-形式 $T_+$ が一意であることを確立すること。
• コンパクト・カーラー多様体上の自己同型へこの剛性を拡張し、$T_+$ がそのコhomology類内での唯一のものであることを証明すること。
• 反復写像下での正則曲線の等分布と、ネヴァンリンナ理論との関係を調査すること。
• 次元 $k \geq 2$ のコンパクト・カーラー多様体上の多項式自己同型および自己同型へ剛性結果を一般化すること。
• コhomology的距離を用いて、形式がグリーン形式に収束する速度の定量的評価を提示すること。

提案手法

• 複素多様体上の正の閉形式を解析するための擬凸的関数論およびスーパーポテンシャル技法の使用。
• $dd^c$-閉性条件を用いて、ジュリア集合 $K_+$ 上に台を持つ一意な形式を特徴づける。
• 適切な重みを用いた正則写像 $\phi: \mathbb{C} \to K_+$ の平均化によりネヴァンリンナ形式 $\tau_r$ を構成する。
• 誘導された作用 $f^*$ が $H^{q,q}(X,\mathbb{R})$ 上に作用する際のコhomology的推定とスペクトル解析を用いて剛性を証明する。
• 形式のコhomology類間の距離 $\|c - c_+\|$ を用いて、収束の定量的評価を導出する。
• グロモフ、ヨミン、および他の研究者らの結果（動的次数の対数的凸性およびベッチ数によるエントロピーの上限）を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘノン型写像の $\mathbb{C}^2$ 上におけるジュリア集合に台を持つ、質量 1 の正の $dd^c$-閉 $(1,1)$-形式 $T_+$ は唯一であるか？
• RQ2 自己同型がコンパクト・カーラー多様体上で定義される場合、グリーン形式の一意性は拡張可能か？その場合、どのようなコhomology的条件下で成立するか？
• RQ3 正則写像 $\phi: \mathbb{C} \to X$ に対応するネヴァンリンナ形式 $\tau_r$ が、$r \to \infty$ の際にグリーン形式 $T_+$ にどの程度収束するか。その収束を保証する条件は何か？
• RQ4 グリーン形式のコhomology的剛性は、$f^*$ のコhomology上での動的次数およびスペクトル性質とどのように関係するか？
• RQ5 コhomology的距離を用いて、形式がグリーン形式に収束する速度にどのような定量的評価を設定できるか？

主な発見

• ヘノン型写像の $\mathbb{C}^2$ 上では、ジュリア集合 $K_+$ 上に台を持つ、質量 1 の正の $dd^c$-閉 $(1,1)$-形式 $T_+$ は唯一である。
• 正のエントロピーを有するコンパクト・カーラー多様体上の自己同型に対して、$T_+$ はそのコhomology類 $\{T_+\}$ 内で唯一の正の $dd^c$-閉形式である。
• $\phi: \mathbb{C} \to X$ が $\phi^*(T_+) = 0$ を満たすならば、関連するネヴァンリンナ形式 $\tau_r$ は $r \to \infty$ の際に $T_+$ に収束する。
• 定量的評価が確立された：$\varphi$ を $\mathscr{C}^2$ 形式とするとき、$|\langle S - T_+, \varphi \rangle| \leq A\|c - c_+\|^\alpha \|\varphi\|_{\mathscr{C}^2}$ が成り立つ。
• $d_2 < d_1^2$ の条件下では、$(1,1)$-型グリーン形式はスケーリングを除き一意であり、そのコhomology類は極めて剛性を示す。
• 写像 $f$ のトポロジカルエントロピーは $\log d_p$ であり、$f$ は一意な最大エントロピー測度をもち、その測度は指数的混合性を示す。