[論文レビュー] Super-potentials for currents on compact Kaehler manifolds and dynamics of automorphisms

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|Apr 5, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 32被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなカーラー多様体上の正の閉じた $(p,p)$-形式に対して、超ポテンシャルを標準的関数として導入し、現在の理論に見られる制限を克服する計算体系を構築する。この枠組みをホロモルフィック自己同型に適用し、グリーン形式と均衡測度の正則性、一意性、双曲的性質を証明するとともに、超ポテンシャル技術を用いて最大エントロピーおよび混合性に関する結果を得る。

ABSTRACT

We introduce a notion of super-potential (canonical function) associated to positive closed (p,p)-currents on compact Kaehler manifolds and we develop a calculus on such currents. One of the key points in our study is the use of deformations in the space of currents. As an application, we obtain several results on the dynamics of holomorphic automorphisms: regularity and uniqueness of the Green currents. We also get the regularity, the entropy, the ergodicity and the hyperbolicity of the equilibrium measures.

研究の動機と目的

• 一般のコンパクトなカーラー多様体上で、$\mathbb{P}^k$ で用いられる古典的ポテンシャル論に代わる、正の閉じた $(p,p)$-形式のための計算体系を構築すること。
• $p>1$ の場合に生じるポテンシャルの非一意性および有界性の欠如に起因する問題を克服するため、超ポテンシャルを、形式の空間上の対称的・擬シュワルツ型関数として導入すること。
• 超ポテンシャルを用いて、正の閉じた形式の間の強固な交叉理論を確立すること。
• 超ポテンシャル枠組みをホロモルフィック自己同型に適用し、グリーン形式および均衡測度の正則性、一意性、動的性質を証明すること。
• 均衡測度に関するエントロピー、混合性、双曲的性質の結果を、一般のコンパクトなカーラー多様体へと拡張すること。

提案手法

• 超ポテンシャル $\mathscr{U}_S(R)$ を $\langle S, U_R \rangle$ として定義し、$dd^c U_R = R$ を満たす解 $U_R$ を正規化することで、コhomology類上で対称的かつ明確に定義された関数を得る。
• 形式の空間における変形を用いて超ポテンシャルを定義・分析し、特にコhomologous to zero な形式に対して特に焦点を当てる。
• Yomdin の動的球体の体積推定を用いて測度の崩壊を制御し、エントロピーの下界を得る。
• 正の形式の平均化された引き戻しの弱収束を用いて均衡測度を構成し、超ポテンシャルの制御により収束を保証する。
• 構造的仮定の下で、グリーン形式の超ポテンシャルが Hölder 継続的であることを示すことにより、グリーン形式の正則性を証明する。
• Brin-Katok の補題および Misiurewicz 型のエントロピー推定を用いて、均衡測度の最大エントロピーおよび混合性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ポテンシャル論が $p>1$ の場合に非一意性および有界性の欠如により失敗するため、一般のコンパクトなカーラー多様体上で正の閉じた $(p,p)$-形式のための明確に定義された計算体系を構築することは可能か？
• RQ2 超ポテンシャルを用いて、正の閉じた形式の間の対称的かつ不変な交叉理論を定義することは可能か？
• RQ3 コンパクトなカーラー多様体上のホロモルフィック自己同型に対して、グリーン形式 $T_q$ は一意なコhomology類を持ち、Hölder 継続的超ポテンシャルを持つと証明できるか？
• RQ4 超ポテンシャル技術を用いて、ホロモルフィック自己同型に関連する均衡測度が最大エントロピーをもち、エルゴディックかつ双曲的であることを示せるか？
• RQ5 弱収束する平均化された動的引き戻しの極限が最大エントロピーの不変測度を与えるための条件は何か？

主な発見

• 超ポテンシャル $\mathscr{U}_S(R)$ は、$U_S$ や $U_R$ の選択に依存せず、明確に定義され、形式の上での強固な計算体系を可能にする。
• ホロモルフィック自己同型のグリーン形式 $T_q$ は、正則性仮定の下で、そのコhomology類内で一意的であり、Hölder 継続的超ポテンシャルを持つことが示された。
• ホロモルフィック自己同型に関連する均衡測度 $\nu$ は不変であり、エルゴディックかつ混合的であり、最大エントロピー $\log d_p$ を持つ。ここで $d_p$ は $p$-番目の動的次数である。
• Yomdin の体積推定および Misiurewicz の補題を用いて、正の形式の平均化された引き戻しの弱収束が最大エントロピー $\log d_p$ の測度を与えることを証明した。
• 均衡測度は双曲的である。これは、エントロピーおよび混合性の性質の結果として、ほとんど everywhere で正のリャプノフ指数を持つことである。
• 超ポテンシャル枠組みにより、正則性条件の下で正の閉じた形式 $S_1 \wedge S_2$ のウェッジ積を定義でき、$\mathbb{P}^k$ を超える交叉理論の拡張が可能になった。