[論文レビュー] Rigidity of manifolds with boundary under a lower Bakry-E'mery Ricci curvature bound

Yohei Sakurai|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、下からのBakry-Émeryリッチ曲率と$f$-平均曲率の下界を満たす境界付きリーマン多様体に対して、剛性定理を確立する。重み付き比較幾何学とスペクトル解析を用いて、内接半径がモデル空間の半径以上に抑えられることを証明し、等号成立時にはそのモデル空間と等長であることを示す。さらに、重み付き$p$-ラプラシアンの第一固有値に対する鋭い下界を導出し、古典的結果を境界付きの重み付き設定に一般化する。

ABSTRACT

We study Riemannian manifolds with boundary under a lower Bakry-E'mery Ricci curvature bound. In our weighted setting, we prove several rigidity theorems for such manifolds with boundary. We conclude a rigidity theorem for the inscribed radii, a volume growth rigidity theorem for the metric neighborhoods of the boundaries, and various splitting theorems. We also obtain rigidity results for the smallest Dirichlet eigenvalues for the weighted p-Laplacians.

研究の動機と目的

• 境界付き多様体の古典的剛性結果をBakry-Émeryリッチ曲率の下界を満たす重み付き設定に拡張すること。
• 曲率および$f$-平均曲率の条件の下で、境界付き多様体の内接半径に対する鋭い上界を確立すること。
• このような多様体における体積成長およびスペクトル剛性結果を、重み付き$p$-ラプラシアンに関して導出すること。
• Heintze-KarcherおよびKasue型の剛性定理を、滑らかな重み関数$f$を有する重み付き状況に一般化すること。
• 内接半径および固有値の下界における等号成立条件を特徴づけ、それがモデル空間と等長であることの証明を行うこと。

提案手法

• 完備なリーマン多様体の境界上で、Bakry-Émeryリッチ曲率$\operatorname{Ric}^N_f \geq (N-1)\kappa$および$f$-平均曲率$H_{f,\partial M} \geq (N-1)\lambda$を定義する。
• 空間形式$M^n_\kappa$内の測地球$B^n_{\kappa,\lambda}$をモデル空間とし、定数$f$-平均曲率$(n-1)\lambda$を持つものと定義し、その半径$C_{\kappa,\lambda}$を定義する。
• 初期条件$\phi(0) = 1$, $\phi'(0) = -\lambda$を満たすジャコビ方程式$\phi''(t) + \kappa\phi(t) = 0$を用いて$s_{\kappa,\lambda}(t)$を定義し、その最初の正の零点が$C_{\kappa,\lambda}$を与える。
• 重み付き測度$m_f = e^{-f} \operatorname{vol}_g$を用いて比較定理を確立し、重み付き距離関数$\rho_{\partial M}(p) = d_M(p, \partial M)$を分析する。
• 等周型不等式を導出する：$\partial\Omega \cap \partial M = \emptyset$を満たす領域$\Omega$に対して$m_f(\Omega) \leq m_{f,\partial\Omega}(\partial\Omega) \cdot C(N,\kappa,\lambda,D)$。
• レイノルズ商に重み付きPoincaré不等式およびホルダーの不等式を適用し、重み付き$p$-ラプラシアンの第一固有値$\mu_{f,1,p}(M)$の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下からのBakry-Émeryリッチ曲率および$f$-平均曲率の下界の下で、内接半径$D(M, \partial M)$の鋭い上界は何か？
• RQ2 内接半径の上界における等号成立は、どのような条件下で、多様体がモデル測地球と等長であることを示すか？
• RQ3 曲率および境界条件の下で、重み付き$p$-ラプラシアンの第一固有値に対する鋭い下界は何か？
• RQ4 これらの曲率下界の下で、境界の近傍の測地的近傍の体積成長はどのように振る舞うか？
• RQ5 $N=\infty$の場合、非負のBakry-Émeryリッチ曲率および$f$-平均曲率のもとで、どのようなスペクトル剛性結果が成り立つか？

主な発見

• 内接半径は$D(M, \partial M) \leq C_{\kappa,\lambda}$を満たす。ここで$C_{\kappa,\lambda}$は、空間形式$M^n_\kappa$内の測地球で、定数$f$-平均曲率$(n-1)\lambda$を持つものの半径である。
• 内接半径の上界における等号成立は、$(M,d_M)$が$B^n_{\kappa,\lambda}$と等長であり、$N=n$であり、$f$が$M$上で定数であるときに限り成立する。
• $N \in [n,\infty)$に対して、重み付き$p$-ラプラシアンの第一固有値は$\mu_{f,1,p}(M) \geq (p \cdot C(N,\kappa,\lambda,D))^{-p}$を満たす。ここで$D = D(M, \partial M)$である。
• $N=\infty$の場合、$\mu_{f,1,p}(M) \geq (pD)^{-p}$が成り立ち、等号成立は$D=\infty$, $\partial M$がコンパクトであり、$M$が$[0,\infty) \times_{\kappa,\lambda} \partial M$と等長であるときに限り成立する。
• $\kappa < 0$かつ$\lambda = \sqrt{|\kappa|}$のとき、定数$C(N,\kappa,\lambda,D)$は$\left((N-1)\lambda\right)^{-1} \left(1 - e^{-(N-1)\lambda D}\right)$に簡略化され、$D \to \infty$のとき$((N-1)\lambda)^{-1}$に単調増加する。
• 固有値の下界における等号成立は、$f \circ \gamma_x(t) = f(x) + (N-n)\lambda t$が径方向測地線に沿って成り立つことを示し、モデル空間の構造を確認する。