[論文レビュー] Rigidity of marginally trapped surfaces and the topology of black holes

Gregory J. Galloway|ArXiv.org|Aug 28, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、高次元時空における境界外方捕獲表面（MOTS）の剛性定理を確立し、このような表面に正のスカラー曲率を持つ計量が存在しない場合、リッチ平坦でエネルギー・モーメンタムテンソル成分が消える必要があることを証明する。この結果により、物理的条件下でトーラス型のホライズンのような例外的トポロジーが排除され、ホーキングのトポロジー定理が高次元へと拡張され、5次元ブラックホールにおける $S^2 \times S^1$ ホライズントポロジーの整合性が裏付けられる。

ABSTRACT

In a recent paper (gr-qc/0509107) the author and Rick Schoen obtained a generalization to higher dimensions of a classical result of Hawking concerning the topology of black holes. It was proved that, apart from certain exceptional circumstances, cross sections of the event horizon, in the stationary case, and 'weakly outermost' marginally outer trapped surfaces, in the general case, in black hole spacetimes obeying the dominant energy condition, are of positive Yamabe type. This implies many well-known restrictions on the topology, and is consistent with recent examples of five dimensional stationary black hole spacetimes with horizon topology $S^2 imes S^1$. In the present paper, we rule out for 'outermost' marginally outer trapped surfaces, in particular, for cross sections of the event horizon in stationary black hole spacetimes, the possibility of any such exceptional circumstances (which might have permitted, e.g., toroidal cross sections). This follows from the main result, which is a rigidity result for marginally outer trapped surfaces that are not of positive Yamabe type.

研究の動機と目的

• 境界外方捕獲表面（MOTS）の幾何的制約を分析することで、ホーキングの古典的ブラックホールトポロジー定理を高次元へと拡張すること。
• 物理的に妥当なエネルギーおよび曲率条件の下で、正のヤマベ型でないホライズンのような例外的ケース（例えばトーラス型トポロジーを許すもの）を除外すること。
• 最小曲面の剛性定理の時空版を確立し、正のヤマベ型でないMOTSがリッチ平坦でエネルギー・モーメンタムテンソル成分が消えることを証明すること。

提案手法

• 外向き光線の第二基本形式と光線の拡張スカラー $\theta_\pm$ を用い、$\theta_+=0$ を満たす境界外方捕獲表面（MOTS）を定義する。
• 支配的エネルギー条件の下で、光線の測地線束に対するレイチャウドヒューリの式を適用し、$\theta_+$ が表面の変動に沿ってどのように振る舞うかを制御する。
• 弱く外向きに最外の性質を保つために、MOTS $\Sigma$ を含むスパタイムライク超曲面 $\tilde{V}$ のfoliationを構成し、平均曲率 $\tilde{\tau} \leq 0$ とする。
• 局所的なMOTSのfoliationが存在するように保つために、$\tilde{V}$ に修正された弱く外向きに最外の条件を課す。これにより、$\theta_+(t) \leq 0$ を満たす1パラメータ族 $\Sigma_t$ を得る。
• MOTSの安定性に関連する線形楕円型作用素 $\tilde{L}_t$ を導入し、その第一固有値 $\lambda_1(\tilde{L}_t)$ を分析することで、曲率制約を導出する。
• エネルギー・モーメンタム項 $P = \mathcal{T}(Z,K) - \theta\tau + \frac{1}{2}\theta^2 + \frac{1}{2}|\chi|^2 \geq 0$ の非負性を用いて、$\chi_t = 0$、$\Sigma_t$ がリッチ平坦であり、$\mathcal{T}(Z,K) = 0$ が $\Sigma_t$ 沿って成り立つことを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のヤマベ型条件を超えて、正のスカラー曲率を持つ計量が存在しない場合、高次元時空における境界外方捕獲表面のトポロジーを制限できるか？
• RQ2 どのような物理的条件下で、トーラス型ホライズンのような例外的トポロジーがブラックホールの事象のホライズンから排除できるか？
• RQ3 最小曲面の剛性定理の時空版がMOTSに適用可能か、特に表面が正のスカラー曲率を持たない場合にその適用が可能か？
• RQ4 曲率およびエネルギー条件の下で、局所的MOTSのfoliationを大域的に拡張できるか？その結果、ホライズンの幾何にどのような意味があるか？
• RQ5 第二基本形式とエネルギー・モーメンタムテンソル成分 $\mathcal{T}(Z,K)$ の消滅が、ホライズンの幾何とトポロジーに与える影響は何か？

主な発見

• 境界外方捕獲表面（MOTS）に正のスカラー曲率を持つ計量が存在しない場合、その第二基本形式 $\chi$ は恒等的に消え、完全にアンビリカルであることを意味する。
• MOTSはリッチ平坦である。これは、表面に沿ってその内挿的リッチ曲率が常にゼロであることを意味する。
• エネルギー・モーメンタムテンソル成分 $\mathcal{T}(Z,K)$ はMOTSに沿って消える。これは、外向き光線法線方向へのエネルギーフラックスがないことを示す。
• この結果により、静的なブラックホール時空では正のヤマベ型でないホライズン（例えばトーラス型）の存在が排除され、トポロジー的に例外的ケースが排除される。
• 解析により、5次元ブラックホールにおける $S^2 \times S^1$ ホライズントポロジーが支配的エネルギー条件を満たし、例外的ケースが存在しないことの整合性が裏付けられる。
• 剛性結果により、ホーキングの元々の3+1次元トポロジー定理が高次元へと拡張され、物理的条件下では正のヤマベ型ホライズンのみが許容されることを示している。