[論文レビュー] Rigidity of the mod 2 families Seiberg-Witten invariants and topology of families of spin 4-manifolds

Tsuyoshi Kato, Hokuto Konno+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、スピン4次元多様体族におけるmod 2族セイバーウルフ不変量の剛性定理を確立し、それが線形化されたセイバーウルフ方程式と仮想インデックスバンドルを通じてのみ依存することを示している。族版10/8不等式を証明し、非滑らか可能であるトポロジカル族や作用の新しい例を導き、特定のK3#nS²×S²多様体（n≤3）に対して、Diff(M)↪Homeo(M) が弱ホモトピー同値でないことを示している。

ABSTRACT

We show a rigidity theorem for the Seiberg-Witten invariants mod 2 for families of spin 4-manifolds. A mechanism of this rigidity theorem also gives a family version of 10/8-type inequality. As an application, we prove the existence of non-smoothable topological families of 4-manifolds whose fiber, base space, and total space are smoothable as manifolds. These non-smoothable topological families provide new examples of 4-manifolds $M$ for which the inclusion maps $\operatorname{Diff}(M) \hookrightarrow \operatorname{Homeo}(M)$ are not weak homotopy equivalences. We shall also give a new series of non-smoothable topological actions on some spin 4-manifolds.

研究の動機と目的

• スピン4次元多様体族におけるmod 2族セイバーウルフ不変量の剛性定理を確立すること。
• 適切なトポロジカル条件の下で古田の10/8不等式の族版を導出すること。
• ファイバー、ベース、および全空間が滑らか可能であるような、非滑らか可能なトポロジカル族の新しい例を構成すること。
• 族版10/8不等式を用いて、スピン4次元多様体上での非滑らか可能なトポロジカル群作用を検出すること。
• K3#nS²×S²と同相な特定の4次元多様体M（n≤3）に対して、包含写像Diff(M)↪Homeo(M) が弱ホモトピー同値でないことを示すこと。

提案手法

• 仮想インデックスバンドルと正の第二ベッチ数条件を用いて、Z/2における族セイバーウルフ不変量を定義する。
• 基底B上のディラック作用素とH⁺バンドルから、KO_Pin(2)(B)に値をとる等変指数バンドルα(X,s_X)を構成する。
• FSW^Z2(X,s_X) が高次のデータに依存せず、α(X,s_X)にのみ依存することを示すことにより、剛性を確立する。
• 有理化局所化と普遍ポントリャーギン類を用いて、等変K理論における指数バンドルを計算する。
• 等変オブストラクション理論を用いて、族の全空間における滑らか化障害を分析する。
• スuspension同型とブレドンコホモロジーを用いて、障害類およびその忘却写像による像を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 mod 2族セイバーウルフ不変量は、線形化されたセイバーウルフ方程式によって剛く決定可能か？
• RQ2 b₊ ≥ dim B + 2 を満たすスピン4次元多様体族に対して、10/8不等式の族版が成り立つか？
• RQ3 ファイバー、ベース、および全空間がすべて滑らか可能な、非滑らか可能なトポロジカル族の4次元多様体を構成可能か？
• RQ4 このような非滑らか可能な族は、特定の4次元多様体に対して、Diff(M)↪Homeo(M) が弱ホモトピー同値でないことを示唆するか？
• RQ5 族版10/8不等式を用いて、スピン4次元多様体上での非滑らか可能なトポロジカル作用を検出可能か？

主な発見

• mod 2族セイバーウルフ不変量FSW^Z2(X,s_X) は、KO_Pin(2)(B)に値をとる等変指数バンドルα(X,s_X) に完全に依存しており、剛性定理の証明がなされた。
• −sign(M_i)/4 −1 −b₊(M_i) + dim B = 0（i=1,2）の条件下で、10/8不等式の族版が確立された。
• ファイバー、ベース、および全空間がすべて滑らか可能な非滑らか可能な4次元多様体族が存在する。
• K3#nS²×S²と同相で0≤n≤3であるような多様体Mに対して、包含写像Diff(M)↪Homeo(M) は弱ホモトピー同値でない。
• 族版10/8不等式を用いて、スピン4次元多様体上での非滑らか可能なトポロジカル作用の新しい系列が検出された。
• ブレドンコホモロジーにおける忘却写像の像は、多様体が可縮可能な場合2Zであり、非可縮可能な場合0であることが示された（Z/2作用の下で）。