[論文レビュー] Riordan arrays, orthogonal polynomials as moments, and Hankel transforms

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、パラメータ化されたリオーダン配列を介して、ルジャンドル多項式およびエルミート多項式が他の直交多項式のモーメント列として解釈可能であることを示すことにより、リオーダン配列、直交多項式、ハンケル変換の間の関係を確立する。主な貢献は、これらの配列の生成行列の三重対角構造を用いて、それらのハンケル変換を計算する手法を提供することにある。

ABSTRACT

Taking the examples of Legendre and Hermite orthogonal polynomials, we show how to interpret the fact that these orthogonal polynomials are moments of other orthogonal polynomials in terms of their associated Riordan arrays. We use these means to calculate the Hankel transforms of the associated polynomial sequences.

研究の動機と目的

• アイズマとスタントンによる直交多項式に関する結果を、リオーダン配列理論を用いてモーメントとして再解釈すること。
• リオーダン配列の生成行列が三重対角であるときかつそのときに限り、その配列が直交多項式の族を定義することを示すこと。
• このような直交多項式のモーメントが、リオーダン配列の最初の列として現れることを示すこと。
• ルジャンドルおよびエルミート多項式列のハンケル変換を、それらのリオーダン配列表現を用いて計算すること。
• 生成関数、モーメント列、ハンケル変換をリオーダン配列を介して統一するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 生成関数 $ g(x) $ がモーメント列の母関数であるようなリオーダン配列 $ (g, f) $ を用いて、直交多項式をモーメントとして表現すること。
• リオーダン配列 $ (g, f)^{-1} $ の生成行列を用いて、関連する直交多項式を生成すること。
• リオーダン配列の生成行列が三重対角であることは、その配列が直交多項式の族を生成することと同値であることを確立すること。
• ステルツェス変換および母関数技法を用いて、モーメント列と測度およびその密度関数との関係を関係づけること。
• 母関数の連分数展開を用いて、ハンケル変換の公式を導出すること。
• 既知の結果（例：式 (16)）を活用して、連分数母関数をもつ列のハンケル変換を正確に計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ化されたリオーダン配列を用いて、ルジャンドル多項式およびエルミート多項式を他の直交多項式のモーメント列としてどのように解釈できるか。
• RQ2 リオーダン配列が直交多項式の族を生成することを保証する条件は何か。
• RQ3 列のハンケル変換が、関連するリオーダン配列の構造とどのように関係しているか。
• RQ4 モーメント列の母関数を用いて、ステルツェス変換により測度を回復できるか。
• RQ5 パラメータ $ r $ で評価されたルジャンドルおよびエルミート多項式列のハンケル変換の明示的形は何か。

主な発見

• ルジャンドル多項式 $ He_n(r) $ は、三重対角生成行列をもつリオーダン配列 $ \big(e^{-rx + x^2/2}, x\big) $ の係数配列である直交多項式族のモーメントである。
• 列 $ He_n(r) $ のハンケル変換は、$ (-1)^{\binom{n+1}{2}} \big( \textstyle\bigcup_{k=0}^{n} k! \big) $ であり、モーメントの連分数母関数から導出される。
• エルミート多項式 $ H_n(r) $ は、三重対角生成行列をもつリオーダン配列 $ \big(e^{2rx - x^2}, x\big) $ の係数配列である直交多項式族のモーメントである。
• 列 $ H_n(r) $ のハンケル変換は、$ (-1)^{\binom{n+1}{2}} \big( \textstyle\bigcup_{k=0}^{n} 2^k k! \big) $ であり、母関数の連分数展開から得られる。
• リオーダン配列 $ (g,f) $ の生成行列が三重対角であることは、$ (g,f)^{-1} $ が直交多項式の族を生成することと同値である。
• リオーダン配列 $ (g,f) $ の最初の列の母関数 $ g(x) $ は、関連する直交多項式族のモーメント母関数に対応する。