[論文レビュー] Risk assessment for uncertain cash flows: Model ambiguity, discounting ambiguity, and the role of bubbles

Beatrice Acciaio, Hans Foellmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2010

Risk and Portfolio Optimization被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、確率的モデルの不確実性と割引要因の不確実性を統合し、確率過程における動的凸リスク測度を用いて、不確実なキャッシュフローの動的リスク評価のための頑健な枠組みを構築する。時間的一致性のスーパーマーティンゲール的特徴付けを確立し、罰則過程におけるマルティンググール成分（「バブル」として特定）が漸近的安全性の破綻の原因であることを明らかにし、不確実性下でのリスク評価における重大な不安定性を解明する。

ABSTRACT

We study the risk assessment of uncertain cash flows in terms of dynamic convex risk measures for processes as introduced in Cheridito, Delbaen, and Kupper (2006). These risk measures take into account not only the amounts but also the timing of a cash flow. We discuss their robust representation in terms of suitably penalized probability measures on the optional sigma-field. This yields an explicit analysis both of model and discounting ambiguity. We focus on supermartingale criteria for different notions of time consistency. In particular we show how bubbles may appear in the dynamic penalization, and how they cause a breakdown of asymptotic safety of the risk assessment procedure.

研究の動機と目的

• 不確実なキャッシュフローを評価する際の確率的モデルと割引要因の両方の不確実性に対処すること。
• 時系列的かつプロセスベースの設定に、タイミングと金額の両方を考慮した凸リスク測度を拡張すること。
• 罰則過程とリスク過程のスーパーマーティンゲール性を用いて、動的リスク測度の時間的一致性を特徴付けること。
• 『バブル』（ペナルティのペナルティ過程におけるマルティンググール成分）の出現を同定・分析し、漸近的安全性の破綻メカニズムとしての役割を解明すること。
• オプショナルなσ-代数上の測度の確率的分解を提供し、モデル不確実性と割引不確実性を分離すること。

提案手法

• キャッシュフローを結合確率空間上の確率変数として取り扱うために、積空間 $\bar{\Omega} = \Omega \times \mathbb{T}$ とオプショナルなσ-代数を備えた設定を採用する。
• オプショナルなσ-代数上の絶対連続測度に対して、$\bar{Q} = Q \otimes D$ の分解を適用し、$Q$ がモデル不確実性を、$D$ が割引不確実性を捉えるようにする。
• 測度の集合 $\bar{Q} = Q \otimes D$ におけるペナルティ付き期待値による、動的凸リスク測度の頑健な表現を導出する。これにより、モデル不確実性と割引不確実性の両方を統合的にモデル化可能となる。
• 割引された罰則過程とリスク過程のスーパーマーティンゲール性を用いて、時間的一致性を特徴付ける。これは、確率変数に対する古典的結果と類似した構造を有する。
• リエシュ分解を用いて、罰則過程におけるマルティンググール成分を同定し、これらを「バブル」と解釈し、漸近的安全性の損なわれ方を解明する。
• 積空間上の条件付き期待値の公式を用いて、$\mathbb{E}_{\bar{Q}}[X|\bar{\mathcal{F}}_t]$ を $Q$-条件付き期待値と割引過程 $D$ の形で明示的に表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル不確実性と割引不確実性が両方存在する状況において、どのように動的凸リスク測度を頑健に表現できるか？
• RQ2 オプショナルなσ-代数と積空間構造が、不確実性下での時系列的キャッシュフローのモデル化において果たす役割は何か？
• RQ3 割引された罰則過程のスーパーマーティンゲール性が、動的リスク評価における時間的一致性をどのように保証するか？
• RQ4 『バブル』（ペナルティ過程におけるマルティンググール成分）はどのようにして出現し、リスク評価の安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 二つの測度 $\bar{Q}^1$ と $\bar{Q}^2$ が $\bar{\mathcal{F}}_t$ 上で一致する条件は何か？ これは $Q$ と $\gamma$ が $\mathcal{F}_t$ および $s < t$ で一致することとどのように関係するか？

主な発見

• プロセスに対する動的凸リスク測度の頑健な表現は、$\bar{Q} = Q \otimes D$ の分解を含み、$Q$ を通じたモデル不確実性と $D$ を通じた割引不確実性を明示的に分離する。
• 動的リスク測度の時間的一致性は、割引された罰則過程とリスク過程のスーパーマーティンゲール性によって特徴付けられ、古典的結果をプロセス設定に拡張する。
• 割引された罰則過程のリエシュ分解におけるマルティンググール成分の出現は、リスク評価における漸近的安全性の破綻を引き起こす『バブル』に対応する。
• 積空間上の条件付き期待値の公式が導出され、$\mathbb{E}_{\bar{Q}}[X|\bar{\mathcal{F}}_t] = X_0 1_{\{0\}} + \dots + \mathbb{E}_Q[\sum_{s \in \mathbb{T}_t} \frac{\gamma_s}{D_t} X_s | \mathcal{F}_t] 1_{\mathbb{T}_t}$ が成り立ち、$Q$-ほとんど確実に $\{D_t > 0\}$ 上で有効である。
• 二つの測度 $\bar{Q}^1$ と $\bar{Q}^2$ が $\bar{\mathcal{F}}_t$ 上で一致するための必要十分条件は、$Q^1 = Q^2$ が $\mathcal{F}_t \cap \{D^1_t > 0\}$ 上で成立し、かつすべての $s < t$ に対して $\gamma^1_s = \gamma^2_s$ が $Q^1$-ほとんど確実に成り立つことである。これにより、測度の一致と成分ごとの同値性の明確な関係が確立される。
• $\gamma_\infty > 0$ $Q$-ほとんど確実である条件は、$Q \in \mathcal{M}(P)$ かつ $\gamma_\infty > 0$ $P$-ほとんど確実に $\{M_\infty > 0\}$ 上で成り立つことと同値であり、非退化な終端測度の存在を示す基準を提供する。