[論文レビュー] Dynamic risk measuring under model uncertainty: taking advantage of the hidden probability measure

Jocelyne Bion–Nadal, Magali Kervarec|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Risk and Portfolio Optimization参考文献 19被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、弱く相対的にコンパクトな集合に隠された確率測度の隠れた正準同値類を活用することで、モデルの不確実性下での動的リスク測度の一般枠組みを構築する。双対表現を確立し、時不変性と正則性を証明し、劣線形リスク測度およびG期待値に理論を適用し、条件付きG期待値がL¹(c)上に時不変のリスク測度へ拡張されることを示す。

ABSTRACT

We study dynamic risk measures in a very general framework enabling to model uncertainty and processes with jumps. We previously showed the existence of a canonical equivalence class of probability measures hidden behind a given set of probability measures possibly non dominated. Taking advantage of this result, we exhibit a dual representation that completely characterizes the dynamic risk measure. We prove continuity and characterize time consistency. Then, we prove regularity for all processes associated to time consistent convex dynamic risk measures. We also study factorization through time for sublinear risk measures. Finally we consider examples (uncertain volatility and G-expectations).

研究の動機と目的

• 支配的確率測度が存在しない動的リスク測定の問題に対処すること。
• 非支配的測度の弱く相対的にコンパクトな集合に隠された正準同値類の確立とその利用。
• 時不変性と正則性を保証する双対表現を備えた動的リスク測度の確立。
• 劣線形リスク測度および条件付きG期待値への理論の拡張を行い、それらの時不変性と可積分性の証明。

提案手法

• 先行研究で確立された、非支配的測度の弱く相対的にコンパクトな集合から導かれる正準同値類の確率測度を用いる。
• 動的リスク測度を特徴付ける形で、$\rho(X) = \sup_{P \in \mathcal{P}} (E_P(-X) - \alpha(P))$ という双対表現を適用する。
• 時不変性を、$r \leq s \leq t$ に対して $\rho_{r,t} = \rho_{r,s} \circ (-\rho_{s,t})$ を満たすコサイクル条件により確立する。
• 隠れた確率測度クラスの構造を用いて、時不変な凸的動的リスク測度に関連する過程の正則性を証明する。
• 時間軸に沿った要因分解を劣線形リスク測度に適用し、時間枠にわたる一貫性を保証する。
• PDEの解を用いて定義される条件付きG期待値を、$c$-ノルムにおける密度および連続性の議論を用いて $L^1(c)$ に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配的確率測度が存在しない状況で、どのようにして動的リスク測度を一貫して定義できるか？
• RQ2 隠れた正準同値類の確率測度が、リスク測度の双対表現を可能にする役割は何か？
• RQ3 非支配的かつモデル不確実な設定下で、時不変性はどのように特徴づけられ、証明されるか？
• RQ4 条件付きG期待値は、$L^1(c)$ 上に時不変の動的リスク測度へ拡張可能か？その背後にある双対表現は何か？
• RQ5 時不変な動的リスク測度に関連する過程の正則性と可積分性を保証する条件は何か？

主な発見

• 動的リスク測度の双対表現が、$\mathcal{P}$ を非支配的確率測度の弱く相対的にコンパクトな集合として、$\rho(X) = \sup_{P \in \mathcal{P}} (E_P(-X) - \alpha(P))$ により確立される。
• コサイクル条件 $\rho_{r,t} = \rho_{r,s} \circ (-\rho_{s,t})$ を用いて時不変性が証明され、正準同値類の存在がこの性質を保証する。
• 動的リスク測度 $\rho_s(X) = \hat{E}(-X|\mathcal{F}_s)$ は $L^1(c)$ に一意に拡張され、$L^1_s(c)$ 値をとる。劣線形性と時不変性が保持される。
• 条件付きG期待値は双対表現を有する：$\hat{E}(X|\mathcal{F}_s) = \mathrm{esssup}_{n \in \mathbb{N}} E_{Q_n}(X|\mathcal{F}_s)$ $P$-a.s. であり、$\{Q_n\}$ は可算個の確率測度の集合である。
• 任意の $X \in L^1(c)$ に対して、$\hat{E}(X|\mathcal{F}_s) = E_{Q_X}(X|\mathcal{F}_s)$ $P$-a.s. を満たす確率測度 $Q_X$ が存在し、強い凸性が保証される。
• 容量 $c(X) = \hat{E}(|X|)$ は $L^1(c)$ 上のノルムを定義し、$\hat{E}(\cdot|\mathcal{F}_s)$ の拡張はこの空間上で連続的かつ適切に定義される。