[論文レビュー] Risk-sensitive Nonzero-sum Stochastic Differential Game with Unbounded Coefficients

Saïd Hamadène, Rui Mu|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多変数の後向き確率微分方程式（BSDE）を用いて、有界でないドリフト係数をもつリスクセンシティブな非ゼロサム確率的微分ゲームにおけるナッシュ均衡の存在を確立する。先行研究の有界性仮定を緩和し、ドライバに二次および線形成長項を含むBSDEを用いて、一般な条件下での均衡存在を証明する。

ABSTRACT

This article is related to risk-sensitive nonzero-sum stochastic differential games in the Markovian framework. This game takes into account the attitudes of the players toward risk and the utility is of exponential form. We show the existence of a Nash equilibrium point for the game when the drift is no longer bounded and only satisfies a linear growth condition. The main tool is the notion of backward stochastic differential equation, which in our case, is multidimensional with continuous generator involving both a quadratic term of Z and a stochastic linear growth component with respect to Z.

研究の動機と目的

• ドリフト係数に対する制限的な有界性仮定を除去することで、既存のリスクセンシティブな確率的微分ゲーム理論を拡張すること。
• プレイヤーの報酬関数が指数的効用関数に基づく非ゼロサムリスクセンシティブゲームにおけるナッシュ均衡の存在を確立すること。
• 多変数の後向き確率微分方程式（BSDE）を用いてゲームを分析し、生成子にZ成分における二次項とZにおける確率的線形成長項を含むものとする。
• ドリフトが有界でない場合に対処するため、新しい事前推定および収束に関する議論をBSDE枠組み内で開発すること。
• 特に、古典的BSDE理論における有界ドライバに依存する先行結果を一般化すること。

提案手法

• 両プレイヤーの指数的効用関数を用いたマコフ型フレームワークにおいて、リスクセンシティブな確率的微分ゲームを定式化する。
• 状態のダイナミクスを、有界でないドリフトおよび拡散係数をもつ確率的微分方程式（SDE）でモデル化する。
• Z成分における二次項とZにおける線形成長成分を含む生成子をもつ多変数BSDEを用い、ゲームのコスト構造によって駆動する。
• 元のBSDEを、正の解を保証する変換により、等価な形に変換し、対数変換技術の適用を可能にする。
• モーメントの上限とグロワール型不等式を用いて、変換されたBSDEの解に対する事前推定を確立する。
• 劣化収束および緊密性の議論を用いて近似列の収束を証明し、元のBSDE系に対する解の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト係数が有界でない場合に、リスクセンシティブな非ゼロサム確率的微分ゲームにおいてナッシュ均衡が存在しうるか？
• RQ2 後向き確率微分方程式は、指数的効用関数および有界でない係数をもつゲームにおける均衡をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 ドリフトおよび拡散係数にどのような条件を課すと、Z成分における二次および線形成長項をもつ関連する多変数BSDEに対する解の存在が保証されるか？
• RQ4 ドリフトの有界性仮定を緩和しても、リスクセンシティブゲームにおけるナッシュ均衡の存在が維持可能か？
• RQ5 リスクセンシティブなコスト関数の構造を保ちつつ、ドリフトの非有界性に対処するために必要な数学的道具は何か？

主な発見

• 本稿は、ドリフト係数に線形成長条件が成り立つ場合に、リスクセンシティブな非ゼロサム確率的微分ゲームにおけるナッシュ均衡点の存在を証明する。
• 主な結果は、Z成分における二次項とZにおける確率的線形成長成分を含む生成子をもつ多変数BSDEを用いて確立される。
• 解は、正の性質を保証する変換を経て得られ、その後対数変換を用いて元の価値関数を回復する。
• 解に対して事前推定が導出され、ZおよびY成分のノルムが適切なLqおよびL2空間で有界であることが示される。
• 劣化収束定理および緊密性の議論を用いて近似列の収束が証明され、極限におけるBSDEに対する解の存在が保証される。
• 価値関数が部分的二次成長をもつ決定的関数による表現をもつことが示され、正則性および可積分性が保証される。