[論文レビュー] Robust cycles and tangencies of large codimension

Pablo G. Barrientos, Artem Raibekas|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、部分的双曲的微分同相写像における任意の共指数をもつ局所的トランジティブ集合を備えた $C^1$-ロバストなサイクルを構成する。この新しい手法により、次元 $d \geq 4$ において、大きな余次元をもつ $C^2$-ロバストなホモクリニック、等次元および非等次元の接合を生成することができ、その応用はシンプレクティック微分同相写像へと拡張可能である。この結果、高次元シンプレクティック力学におけるロバストな非双曲的挙動の新たなメカニズムが得られる。

ABSTRACT

We construct partially hyperbolic diffeomorphisms having semi-local robustly transitive sets with $C^1$-robust cycles of any co-index. These constructions also provide a new method to create $C^2$-robust homoclinic, equidimensional and heterodimensional tangencies of large codimension in dimension $d\geq 4$. The method to generate robust homoclinic and equidimensional tangencies also works in the symplectic setting. Thus, these are mechanisms for the robust non-hyperbolicity of symplectomorphisms in higher dimension.

研究の動機と目的

• 任意の共指数をもつ $C^1$-ロバストにトランジティブな集合を示す部分的双曲的微分同相写像を構成すること。
• 次元 $d \geq 4$ において、大きな余次元をもつ $C^2$-ロバストな接合（ホモクリニック、等次元および非等次元）を生成するための新しい技術を開発すること。
• この手法をシンプレクティック設定に拡張し、高次元シンプレクティック同相写像におけるロバストな非双曲的挙動を示すこと。
• 高次元力学系における古典的な双曲的枠組みを越えた、ロバストな非双曲的挙動のメカニズムを提供すること。

提案手法

• 本構成は、任意の共指数をもつ部分的双曲的微分同相写像におけるロバストなサイクルを設計するための新しい幾何的技法に依存する。
• この手法は、部分的双曲的構造における双曲性を保つように制御された摂動により、得られる集合の $C^1$-ロバストなトランジティビティを保証する。
• $C^2$-ロバストな接合の実現のため、安定・不安定多様体の横断的交差を動的構造を操作することで実現する。
• 摂動中にシンプレクティック形式を保存することで、この手法をシンプレクティック微分同相写像に適応し、ロバストな接合がシンプレクティック類に留まるように保証する。
• 周期軌道およびその不変多様体の近傍における局所的力学を用いて、ロバストなサイクル形成を強制する。
• この手法は一般性を有し、ホモクリニック接合に限らず、等次元および非等次元の接合を高余次元でロバストに生成可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しい幾何的技法を用いて、部分的双曲的微分同相写像において任意の共指数をもつロバストなサイクルを構成可能か？
• RQ2 この手法により、次元 $d \geq 4$ において大きな余次元をもつ $C^2$-ロバストな接合を生成可能か？
• RQ3 この手法はシンプレクティック設定に拡張可能であり、シンプレクティック同相写像におけるロバストな非双曲的挙動を生じるか？
• RQ4 この技術により、ホモクリニック接合に加え、等次元および非等次元の接合を $C^2$-位相においてもロバストに生成可能か？
• RQ5 このようなロバストな接合が、高次元における非双曲的力学の分類にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿は、任意の共指数をもつ部分的双曲的微分同相写像における $C^1$-ロバストなサイクルを構成した。
• 次元 $d \geq 4$ において、大きな余次元をもつ $C^2$-ロバストなホモクリニック、等次元および非等次元の接合を生成するための新しい手法を提供した。
• この手法はシンプレクティック微分同相写像に適用可能であり、シンプレクティックカテゴリーにおけるロバストな非双曲的挙動の新たなメカニズムを確立した。
• シンプレクティック構造を保つように制御された摂動により、大きな余次元のロバストな接合が達成された。
• 構成結果により、次元4以上ではシンプレクティック系でさえも非双曲的挙動がロバストに存在しうることを示した。
• 本研究は、古典的例を越えてロバストな非双曲的挙動の理解を拡張し、高次元力学系における新たな道具を提供した。