[論文レビュー] Robust Invariant Sets Computation for Switched Discrete-Time Polynomial Systems

Xue Bai, Naijun Zhan|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Formal Methods in Verification参考文献 45被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ベルマン型方程式の有界解のゼロレベル集合として表される最大のロバスト不変集合を特徴づけることで、摂動を伴う離散時間スイッチング多項式系におけるロバスト不変集合を計算する新しい手法を提案する。この手法は収束を保証する価値反復とスケーラビリティを高めるための半正定値計画法（SDP）を活用し、摂動に対して保証されたロバスト性を有する高次元系における正確で効率的な不変集合の推定を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we study the robust invariant sets generation problem for discrete-time switched polynomial systems subject to disturbance inputs within the optimal control framework. A robust invariant set of interest is a set of states such that every possible trajectory starting from it never leaves a specified safe set, regardless of actual disturbances. The maximal robust invariant set is shown to be the zero level set of the unique bounded solution to a Bellman type equation, which is a functional equation being widely used in discrete-time optimal control. This is the main contribution of this work. The uniqueness of bounded solutions enables us to solve the derived Bellman type equation using numerical methods such as the value iteration, which provides an approximation of the maximal robust invariant set. In order to increase the scalability of the Bellman equation based method, a semi-definite program, which is constructed based on the derived Bellman type equation, is also implemented to synthesize robust invariant sets. Finally, three examples demonstrate the performance of our methods.

研究の動機と目的

• 摂動を伴う離散時間スイッチング非線形系におけるロバスト不変集合を計算する最適制御に基づく手法の不足を解消すること。
• 離散時間系において最大ロバスト不変集合とベルマン型方程式の有界解との間の理論的関係を確立すること。
• 最大ロバスト不変集合を近似するスケーラブルな計算手法（価値反復と半正定値計画法）を開発すること。
• 3つのベンチマーク例（高次元系を含む）を通じて、提案手法の有効性と優位性を示すこと。
• 離散時間スイッチング多項式系としてモデル化されたデジタル制御系における安全性および安定性の検証を可能にすること。

提案手法

• 割引率が (0,1) 内にある有界な価値関数を定式化し、そのゼロ以下のレベル集合が最大ロバスト不変集合に一致するようにすること。
• 最大ロバスト不変集合を特徴づける一意の有界解を有するベルマン型関数方程式を導出すること。
• 中程度の次元の系に対しては価値反復を適用し、ベルマン方程式を数値的に解き、不変集合の近似を得ること。
• 割引率が 1 に等しい場合、ベルマン方程式を不等式系に緩和することで、半正定値計画法（SDP）の定式化を可能にすること。
• SDPに基づく手法を構築し、高次元系におけるスケーラビリティを向上させること。
• 数値シミュレーションを用いて、計算された不変集合の精度を粗い近似と比較・検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動を伴う離散時間スイッチング多項式系における最大ロバスト不変集合は、ベルマン型方程式の有界解のゼロレベル集合として特徴づけられるか？
• RQ2 割引率が1未満に厳密に小さい場合、ベルマン型方程式は一意の有界解を有するか？これにより、信頼性の高い数値計算が可能か？
• RQ3 価値反復法は、このような系において最大ロバスト不変集合をどのように近似するか？
• RQ4 メモリ制限により価値反復に失敗した場合、SDPに基づく手法の性能はいかがなものか？
• RQ5 提案されたSDPに基づく手法は、[41]における手法と比較して、保守的さと精度の点で優れているか？

主な発見

• 最大ロバスト不変集合は、ベルマン型方程式の唯一の有界解のゼロレベル集合として正確に特徴づけられ、基礎的な理論的結果を確立した。
• 価値反復は低次元系（例1および例2）において最大ロバスト不変集合の近似を効果的に計算できたが、高次元系（例3）ではメモリオーバーフローにより失敗した。
• アルゴリズム20のSDPベースの手法（式(20)）は、価値反復が失敗する例3に対してもロバスト不変集合を正しく計算でき、スケーラビリティの向上を実証した。
• 例1では、SDPベースの手法の結果は[41]の手法とほとんど区別がつかず、同等の精度であることを示した。
• 例2では、$d_u = 8$ および $d_u = 12$ の両方において、提案されたSDP手法が[41]の手法よりも保守的でない不変集合を生成し、性能の向上を示した。
• 例3では、視覚的に類似しているため直接比較が難しいが、SDP手法は価値反復が失敗する状況でも有効に機能し、実用的有用性を確認した。