[論文レビュー] Robust numerical methods for local and nonlocal equations of porous medium type. Part I: Theory

Félix del Teso, Jørgen Endal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 66被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所的および非局所的 Lévy 型作用素を含む一般非線形拡散方程式に適用可能な一様で頑健な有限差分スキームの理論を構築する。最小限の仮定の下で適切な定義、安定性、収束性、コンパクト性を確立し、解が極めて不規則であっても $L^1 \cap L^\infty$ において分布的解への収束を証明する。

ABSTRACT

We develop the theory for monotone schemes of finite difference type for general nonlinear diffusion equations, $$ \partial_t u-\mathfrak{L}^{\sigma,\mu}[\varphi(u)]=f(x,t) \qquad ext{in}\qquad \mathbb{R}^N imes(0,T), $$ where $\mathfrak{L}^{\sigma,\mu}$ is a general symmetric diffusion operator of L\'evy type and $\varphi$ is merely continuous and non-decreasing. This theory covers strongly degenerate Stefan problems and the full range of porous medium and fast diffusion equations. Examples of diffusion operators $\mathfrak{L}^{\sigma,\mu}$ are the Laplacian $\Delta$, the fractional Laplacian $-(-\Delta)^{\frac\alpha2}$, $\alpha\in(0,2)$, discrete operators, and combinations of these. The observation that finite difference type operators are nonlocal L\'evy operators, allows us to give a unified, compact, and efficient nonlocal theory for both local and nonlocal, linear and nonlinear diffusion equations. The theory includes well-posedness, stability, equicontinuity, compactness, and convergence of the methods under minimal assumptions including assumptions that lead to very irregular solutions. In other words, the schemes we introduce are robust in the sense that they converge under very unfavorable conditions. Such general results are possible because we are able to work in the largest class of weak solutions where uniqueness is known: distributional solutions in $L^1\cap L^\infty$. As a byproduct of our numerical analysis, we obtain a new and general existence result for the original PDE, a result that was previously announced. We also present some numerical tests, but extensive numerical testing is deferred to a companion paper along with a more detailed discussion of the numerical methods included in our theory.

研究の動機と目的

• 局所的および非局所的拡散方程式に適用可能な、一般で統一的な単調有限差分スキームの理論を構築すること。
• 解の正則性が低い場合を含め、最小限の仮定の下で数値スキームの収束性と安定性を確立すること。
• 強いかつ重度の退化する Stefan 問題および多孔質媒体方程式と高速拡散方程式の全範囲への理論の拡張すること。
• 数値解析の副産物として、元の PDE に対する新しい一般存在結果を提供すること。
• 連続的かつ非減少な非線形性を有する方程式に適用可能なロバストな数値手法の理論的基盤を構築すること。

提案手法

• 一般拡散方程式を $ \partial_t u - \mathfrak{L}^{\sigma,\mu}[\varphi(u)] = f(x,t) $ として定式化し、$ \mathfrak{L}^{\sigma,\mu} $ を対称的 Lévy 型作用素とする。
• 元の PDE と単調かつ一致する有限差分型スキームを用い、安定性と収束性を保証する。
• 解の一意性が知られている最大クラスである $ L^1 \cap L^\infty $ 内の分布的解の空間で作業する。
• 非局所解析の技術を用いて、局所的（例：ラプラシアン）および非局所的（例：分数階ラプラシアン）作用素を一様に取り扱う。
• 数値解の等連続性およびコンパクト性を確立し、線形化法または部分列の議論により収束を証明する。
• Lévy 作用素の構造を活用し、離散的・連続的・ハイブリッドな拡散作用素の取り扱いを統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限の正則性仮定の下で、局所的および非局所的非線形拡散方程式に共通して適用可能な、単一の頑健な数値フレームワークを構築可能か？
• RQ2 非線形性が不連続または退化する方程式に対して、単調有限差分スキームが弱解へ収束する条件は何か？
• RQ3 Lévy 型作用素の理論をどのように用いることで、局所的および非局所的拡散過程の解析を統一できるか？
• RQ4 $ \varphi(u) $ および作用素 $ \mathfrak{L}^{\sigma,\mu} $ に対して収束性と安定性を保証するための最小限の仮定の集合は何か？
• RQ5 数値解析フレームワークが、元の PDE システムに対する新しい存在結果を導けるか？

主な発見

• 提案された有限差分スキームは、解が極めて不規則であっても $ L^1 \cap L^\infty $ において分布的解へ収束する。
• 解の退化や滑らかでない非線形性を含め、最小限の仮定の下で適切な定義、安定性、等連続性、コンパクト性を達成する。
• Lévy 型作用素の使用により、局所的（例：ラプラシアン）および非局所的（例：分数階ラプラシアン）拡散作用素の解析が統一される。
• 数値解析の副産物として、元の PDE に対する新しい一般存在結果が得られ、従来の結果を拡張する。
• 本手法は頑健である：古典的正則性理論や一意性理論が成立しない場合でも収束が保証される。
• 理論は多孔質媒体方程式および高速拡散方程式の全範囲に適用可能であり、強いかつ重度の退化する Stefan 問題を含む。