[論文レビュー] Robust Recovery of Signals From a Structured Union of Subspaces

Yonina C. Eldar, Moshe Mishali|ArXiv.org|Jul 29, 2008

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限個の線形サンプルから構造的k次元部分空間の和集合に位置する信号のロバストで効率的な復元を実現する凸最適化フレームワークを提案する。ブロックスパース復元を用いた混合 ℓ₂/ℓ₁ 最小化として問題を定式化することで、ブロック制限等長性（block-RIP）に基づく完全復元および安定復元の十分条件を確立し、圧縮センシングを明示的な保証のもとに構造的部分空間の和集合へ一般化する。

ABSTRACT

Traditional sampling theories consider the problem of reconstructing an unknown signal $x$ from a series of samples. A prevalent assumption which often guarantees recovery from the given measurements is that $x$ lies in a known subspace. Recently, there has been growing interest in nonlinear but structured signal models, in which $x$ lies in a union of subspaces. In this paper we develop a general framework for robust and efficient recovery of such signals from a given set of samples. More specifically, we treat the case in which $x$ lies in a sum of $k$ subspaces, chosen from a larger set of $m$ possibilities. The samples are modelled as inner products with an arbitrary set of sampling functions. To derive an efficient and robust recovery algorithm, we show that our problem can be formulated as that of recovering a block-sparse vector whose non-zero elements appear in fixed blocks. We then propose a mixed $\ell_2/\ell_1$ program for block sparse recovery. Our main result is an equivalence condition under which the proposed convex algorithm is guaranteed to recover the original signal. This result relies on the notion of block restricted isometry property (RIP), which is a generalization of the standard RIP used extensively in the context of compressed sensing. Based on RIP we also prove stability of our approach in the presence of noise and modelling errors. A special case of our framework is that of recovering multiple measurement vectors (MMV) that share a joint sparsity pattern. Adapting our results to this context leads to new MMV recovery methods as well as equivalence conditions under which the entire set can be determined efficiently.

研究の動機と目的

• m 個の可能な部分空間の中から選択された k 個の部分空間の和集合に位置する信号の計算効率が高くロバストな復元アルゴリズムの開発を目的とする。
• 真の部分空間が事前に未知である状況において、ノイズありおよび不一致状態の下での信号復元の課題に取り組む。
• ブロック-RIP フレームワークを導入することで、圧縮センシング理論を構造的部分空間の和集合へ一般化することを目的とする。
• 提案された凸最適化手法が完全かつ安定な復元を保証する明示的かつ非漸近的な条件を提供することを目的とする。
• 複数測定ベクトル（MMV）問題にこのフレームワークを特化させ、ブロック-RIP を根拠とした新しい復元手法および同等条件を提供することを目的とする。

提案手法

• 信号復元問題を、非ゼロ係数が固定で事前に定義されたブロックに現れるブロックスパースベクトルの復元問題に再定式化する。
• 係数ベクトルにおけるブロックスパース性を促進するため、混合 ℓ₂/ℓ₁ 最適化プログラム（第二順序コンビネーション計画法）を用いる。
• ブロック構造を持つ部分空間を扱うために、標準的RIPの一般化としてブロック制限等長性（block-RIP）を定義する。
• 測定行列のブロック-RIPに基づく完全復元の十分条件を、サンプリング作用素および部分空間基底変換から導出する。
• ノイズおよび信号の不一致状態下での復元法の安定性を示し、再構成誤差をブロック-RIP定数の関数として上限付ける。
• 確率的サンプリング行列を分析し、適切な問題次元のもとでブロック-RIP 条件が高確率で満たされることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m 個の可能な部分空間の中から選ばれた k 個の部分空間の和集合に位置する信号が、線形サンプルからどのようにして正確に復元可能か。
• RQ2 スパースパターンのブロック構造を活用するための凸最適化手法をどのように設計すれば、復元性能が向上するか。
• RQ3 構造的部分空間の和集合モデルにおいて安定な復元を保証するために必要な制限等長性（RIP）の一般化は何か。
• RQ4 ノイズが存在する場合や信号が正確に部分空間の和集合にない場合、提案手法はどのように動作するか。
• RQ5 このフレームワークは複数測定ベクトル（MMV）問題に特化可能か。また、ブロック-RIP を根拠とした新しい復元保証や同等性は得られるか。

主な発見

• 提案された混合 ℓ₂/ℓ₁ 最小化アルゴリズムは、測定行列がブロック-RIP 条件を満たし、k>1 のもとで定数が √(2k−1)/(k−1) 未満であれば、元の信号を完全に復元可能であることが保証される。
• ノイズおよびモデル誤差の下でも、再構成誤差がノイズレベルおよび最良のブロックスパース近似誤差の定数倍で上限付けることにより、安定な復元が保証される。
• 測定行列が確率的に生成される場合、m 個の部分空間およびブロックサイズ k に対して、サンプル数 n が O(k log(m/k)) のスケールで増加すれば、ブロック-RIP 条件が高確率で満たされる。
• このフレームワークは、圧縮センシングを構造的部分空間の和集合へ一般化し、スパースパターンだけでなく非ゼロ係数間の線形結合を許容する。
• MMV 問題に対しては、各測定ベクトルがすべての未知ベクトルに依存する新しい復元スキームが得られ、復元速度が向上し、ブロック-RIP の下でMMVアルゴリズム間の同等性に関する結果が得られる。
• 結果は非漸近的であり、有限次元の構造的部分空間の和集合に適用可能で、復元性能に関する明示的な上限が与えられる。