[論文レビュー] Robust utility maximization problem in model with jumps and unbounded claim

Monique Jeanblanc, Anis Matoussi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ジャンプと非有界クレームを伴うモデル不確実性下でのロバストなユーティリティ最大化を研究し、ジャンプ付きの2次・指数型後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）を用いて価値過程を定式化する。動的最適化原理を確立し、最適消費・投資戦略と最悪ケースモデルを、先行研究をジャンプ・ドリフト設定に一般化した前向き・後向き確率的系によって特徴づける。

ABSTRACT

We study a problem of utility maximization under model uncertainty with information including jumps. We prove first that the value process of the robust stochastic control problem is described by the solution of a quadratic-exponential backward stochastic differential equation with jumps. Then, we establish a dynamic maximum principle for the optimal control of the maximization problem. The characterization of the optimal model and the optimal control (consumption-investment) is given via a forward-backward system which generalizes the result of Duffie and Skiadas (1994) and El Karoui, Peng and Quenez (2001) in the case of maximization of recursive utilities including model with jumps.

研究の動機と目的

• 真の確率測度が未知であり、測度の集合によって表現されるモデル不確実性下でのユーティリティ最大化を扱う。
• 金融市場で一般的なジャンプ付きおよび非有界クレームを伴うモデルにまで、既存のロバストな確率的制御理論を拡張する。
• ジャンプ動的構造を伴う非マルコフ的設定において、最適消費・投資戦略と最悪ケースモデルの動的特徴づけを実施する。
• 再帰的ユーティリティのDuffie-SkiadasおよびEl Karouiらの枠組みを、モデル不確実性とジャンプを含む形に一般化する。
• 確率解析およびBSDE技法を用いて、最適制御問題に対する動的最適化原理を確立する。

提案手法

• 相対エントロピーによる罰則を課した測度の集合上でのミニマックス制御問題として、ロバストなユーティリティ最大化問題を定式化する。
• 価値過程を、モデル不確実性と確率的ダイナミクスの相互作用を捉えるジャンプ付き2次・指数型BSDEの解として導出する。
• Anderson, Hansen, Sargentが提唱した罰則法を模倣し、相対エントロピーを用いてモデルの曖昧さを定量化する。
• 変分的アプローチとゲートオー微分を用いて、最適性の必要条件を導出する。
• 弱収束およびバナッハ＝マザール補題を用いて、BSDE枠組み内での摂動の強収束部分列を抽出する。
• 最適制御と最悪ケース測度を、動的最適化原理によって特徴づける前向き・後向き確率的系を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル不確実性下でジャンプと非有界クレームを伴う状況において、ロバストなユーティリティ最大化をどのように定式化できるか。
• RQ2 不確実なダイナミクスを伴うジャンプ・ドリフトモデルにおいて、価値関数の動的特徴づけは何か。
• RQ3 非マルコフ的かつジャンプ拡張された設定において、最適消費・投資戦略と最悪ケースモデルの相互作用はどのように働くか。
• RQ4 2次・指数型BSDEにジャンプを含む形で、動的最適化原理をロバスト制御問題に拡張できるか。
• RQ5 相対エントロピー罰則は、前向き・後向き確率的系における最適モデルと制御を決定づける役割を果たすか。

主な発見

• ロバストな確率的制御問題の価値過程は、ジャンプ付き2次・指数型後向き確率微分方程式の解として特徴づけられる。
• 最適制御と最悪ケース測度を結ぶ前向き・後向き確率的系によって特徴づけられる動的最適化原理が確立された。
• 最適モデルと最適制御が、Duffie-SkiadasおよびEl Karouiらの結果をジャンプ・ドリフトモデルに一般化する方程式系を満たすことが示された。
• 弱収束およびバナッハ＝マザール技法を用いて、摂動解の収束が厳密に証明され、変分的意味での微分の存在が保証された。
• 価値過程の微分に対する極限BSDEが導出され、摂動ダイナミクスが最悪ケース測度の下でマルティンゲール条件を満たすことが示された。
• 最適制御は、最悪ケース確率測度の下での消費の限界ユーティリティと最終資産の条件付き期待値を含む形で表現された。