[論文レビュー] Rock-Paper-Scissors, Differential Games and Biological Diversity

Tung Mai, Ioannis Panageas+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Evolutionary Game Theory and Cooperation参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、生物多様性を維持するフィードバックループを通じて、石鹸・チョキ・パーのダイナミクスを保つ微分ゲームモデルを提案する。レアな種は、ペイオフ行列の変化によって環境的優位性を獲得する。種の頻度と環境的重みの両方のリプレケーター動的を用い、ポincare再帰性と体積保存性によりサイクル行動を証明し、一般初期条件下で全種の絶滅を防ぎ、持続的共存を実現する。

ABSTRACT

We model a situation in which a collection of species derive their fitnesses via a rock-paper-scissors-type game; however, the precise payoffs are a function of the environment. The new aspect of our model lies in adding a feedback loop: the environment changes according to the relative fitnesses of the species; in particular, it gives a boost to the species having small populations. We cast our model in the setting of a differential game and we show that for a certain setting of parameters, this dynamics cycles. Our model is a natural one, since depletion of resources used by more frequent species will shift the payoff matrix towards favoring less frequent ones. Since the dynamics cycles, no species goes extinct and diversity is maintained.

研究の動機と目的

• 希少種が環境的利点を得るフィードバック機構を通じて、生物多様性の維持をモデル化すること。
• 固定ペイオフの石鹸・チョキ・パーゲームを、動的で環境依存のペイオフ行列へ拡張すること。
• 連続的状態の進化を組み合わせた微分ゲームとリプレケーター動的を用いて、得られたシステムを分析すること。
• システムがサイクル的行動を示すことを証明し、絶滅を防ぎ、多様性を維持すること。
• ポincare再帰性とリウヴィルの定理を用いて、連続時間系における長期的力学的安定性を確立すること。

提案手法

• n 個のRPS型行列の凸結合から導かれる時間変動ペイオフ行列を用いて、種の適応度をモデル化する。各行列は1つの種を優遇する。
• 種の個体数頻度 x と、より稀な種を優遇する環境的重みベクトル w の2つの結合リプレケーター動的を定義する。
• 解析的取り扱いのため、単体状態空間を R^{n-1} × R^{n-1} に同相写像する変換 Π を適用する。
• ベクトル場の発散がゼロであることを示し、リウヴィルの定理を用いて変換されたダイナミクスの体積保存性を証明する。
• logバーrier関数 D(x) + μD(w) が一定かつ有限であることを示し、境界への収束を防ぐことで有界軌道を確立する。
• ポincare再帰定理を適用し、軌道が無限回にわたり初期状態に限りなく近づくことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 希少種に有利なフィードバック機構が、連続時間モデルにおける石鹼・チョキ・パーのダイナミクスを安定化させ、絶滅を防げるか。
• RQ2 種の個体数ダイナミクスと環境状態進化の結合が、微分ゲーム枠組み内でサイクル的行動を生じるか。
• RQ3 システムが状態空間で体積を保存し、有界軌道を維持する条件は何か。
• RQ4 非自明で多種にわたる非線形力学系において、ポincare再帰性をどのように適用してサイクルを証明できるか。
• RQ5 logバーrier関数とその時間不変和が、力学的安定性と境界回避を保証する役割は何か。

主な発見

• すべての初期条件において、個体数と重みベクトルが正の成分を持つ限り、システムの軌道は無限回にわたり初期状態に限りなく近づくことが証明され、サイクル的行動が確認された。
• ベクトル場の発散がゼロであるため、変換された状態空間 R^{n-1} × R^{n-1} において、ダイナミクスは体積を保存する。
• D(x) + μD(w)（Dはlogバーrier関数）は時間とともに一定であり、有界軌道を保証し、境界への逸脱を防ぐ。
• logバーrier関数は境界で発散するが、初期値が有限であるため、システムの軌道は有界のままである。
• ポincare再帰定理は変換されたシステムに適用可能であり、再帰性を保証し、したがって長期的サイクルが成立する。
• サイクル的行動により、いかなる種も絶滅せず、連続的な個体数の揺らぎを通じて生物多様性が維持される。