[論文レビュー] Root's barrier, viscosity solutions of obstacle problems and reflected FBSDEs

Paul Gassiat, Harald Oberhauser+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、スコロホド埋め込み問題に対する粘性PDE枠組みを確立し、放物型比較原理を用いてルートのバリア解の存在および最小性を証明する。これは、退化および時刻に依存する拡散過程へ一般化可能な自己完結的で構成的なPDE的手法を提供し、反射型FBSDEおよび逆ルートバリアに関する新たな証明と洞察をもたらす。

ABSTRACT

We revisit work of Rost, Dupire and Cox--Wang on connections between Root's solution of the Skorokhod embedding problem and obstacle problems. We develop an approach based on viscosity sub- and supersolutions and an accompanying comparison principle. This gives a complete characterization of (reversed) Root barriers and leads to new proofs of existence as well as minimality of such barrier solutions by pure PDE methods. The approach is self-contained and general enough to cover martingale diffusions with degenerate elliptic or time-dependent volatility; it also provides insights about the dynamics of general Skorokhod embeddings.

研究の動機と目的

• 粘性解を用いた自己完備的でPDEベースのアプローチにより、ルートおよび逆ルートバリアを特徴づける。
• 古典的手法が失敗する時刻に依存する非定常および退化拡散過程に対し、ルート解の存在および最小性を確立する。
• Rostの最小化性（1）を、マコロフ的でないおよび時刻に依存する設定へ、粘性理論を用いて一般化する。
• PDE手法を用いてスコロホド埋め込みと反射型前向き後向きSDE（FBSDE）を結びつける。
• 逆ルートバリアのポテンシャル論的証明に対する構成的代替手法を提供する。

提案手法

• スコロホド埋め込み問題を、粘性下位および上位解の枠組みを備えた非線形障害PDEとして定式化する。
• 放物型比較原理を適用し、ルートバリアの一意性および最小性を証明する。
• 粘性解との1対1対応を保証するため、一般化された正則ルートバリアの概念を導入する。
• 非滑らか解（不連続または非微分可能バリアに起因）を取り扱うために、粘性ジェット特徴付け（補題4）を用いる。
• 反射型FBSDEを活用し、バリア近似の確率的解釈およびモンテカルロ計算可能なフレームワークを提供する。
• バリエーションおよびPDE解法技術（例：Bensoussan-Lions より）を応用し、ポテンシャル論に依存せずに解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャル論に依存せずに、粘性PDE手法を用いてスコロホド埋め込み問題におけるルート解の存在および最小性を証明できるか？
• RQ2 一般スコロホド埋め込みのダイナミクスは、非線形PDEの上位解としてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 古典的な「埋め込みスキーム」を避けて、PDE技法を用いて逆ルートバリアを構成的に構築できるか？
• RQ4 放物型比較原理は、粘性設定において一意性および最小性を確立する上で果たす役割は何か？
• RQ5 PDEアプローチは、時刻に依存する非定常および退化拡散過程へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、スコロホド埋め込み問題の任意の解が、特定の障害PDEの粘性上位解であることを証明し、ロストの過剰関数アプローチを一般化する。
• 正則ルートバリアと粘性解との間には1対1対応が確立され、PDE解存在定理を用いた存在証明が可能になる。
• ルート解の最小化性（1）が、放物型比較原理から直接導かれることが示され、洗練された新しい証明が得られる。
• このアプローチは、古典的手法が適用できない非定常および退化拡散過程へも拡張可能である。
• 逆ルートバリアは粘性解として特徴づけられ、ロストのポテンシャル論的埋め込みスキームに対する構成的代替手法が提供される。
• PDE定式化に基づく数値スキームが実装され、反射型FBSDEとの関係により、バリアのモンテカルロベースの計算が可能になる。