[論文レビュー] Distribution of the time to explosion for one-dimensional diffusions

Ioannis Karatzas, Johannes Ruf|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1次元拡散過程の爆発時刻の分布について包括的な分析を提供し、尾確率 $\mathbb{P}_\xi(S > t)$ が放物型コーシー問題の最小非負解であることを確立している。爆発時刻の分布は非負局所 martingale の期待値と関連づけられ、Fellerの爆発基準のPDEによる解析的特徴づけがなされ、Bessel過程やBesselブリッジといった重要な例において明示的な解が得られている。

ABSTRACT

We study the distribution of the time to explosion for one-dimensional diffusions. We relate this question to computing the expectations of suitable nonnegative local martingales, and to the distributions of related diffusions with unit variance. Moreover, we characterize the distribution function of the time to explosion as the minimal solution to a certain Cauchy problem for an appropriate parabolic differential equation; this leads to alternative characterizations of Feller's criterion for explosions. We discuss in detail several examples for which it is possible to obtain analytic expressions for the corresponding distribution of the time to explosion, using the methodologies developed in the paper.

研究の動機と目的

• Fellerの爆発基準に関する基礎的業績にもかかわらず、まだほとんど研究が進んでいない1次元拡散過程の爆発時刻分布を特徴づけること。
• 爆発時刻分布と非負局所 martingale の期待値との間の関係を確立し、McKeanの結果を一般化すること。
• 尾確率 $\mathbb{P}_\xi(S > t)$ が放物型コーシー問題の最小解であることを示し、爆発を研究するための新しい解析的枠組みを提供すること。
• 爆発時刻分布の連続性、正則性、および完全なスティッフネスといった解析的性質を調査すること。
• Bessel過程やBesselブリッジを含む重要な例において、開発された手法を用いて爆発時刻分布の明示的解析的表現を提供すること。

提案手法

• 爆発以前の過程のダイナミクスをモデル化するために、1次元拡散過程の理論とSDEのパスワイズ解の理論を用いる。
• Girsanovの定理と非負局所 martingale の概念を適用し、測度変更下での期待値と爆発時刻分布を関連づける。
• 尾確率 $\mathbb{P}_\xi(S > t)$ を、拡散過程の生成作用素を表す $\mathcal{L}$ を用いた形 $\mathcal{L}u = 0$ の放物型偏微分方程式（PDE）の最小非負解として特徴づける。
• スケール関数の枠組みにおいて、爆発時刻分布のラプラス変換の別表現を常微分方程式（ODE）を用いて導出する。
• Lamperti変換とFellerの爆発テストを用いて境界挙動と爆発条件を分析する。
• 時間変換された Browmian 動機と逆時間変換の議論を用いて、停止された拡散過程の分布の一意性を確立し、解法フレームワークの堅牢性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fellerの基準を越えて、1次元拡散過程の爆発時刻分布を解析的に特徴づけるにはどうすればよいか？
• RQ2 爆発時刻分布と非負局所 martingale の期待値との間の明確な関係は何か？
• RQ3 尾確率 $\mathbb{P}_\xi(S > t)$ がPDEの解として特徴づけられるか？ もしそうなら、どのような種類の解であるか？
• RQ4 爆発時刻分布が完全なスティッフネスを示すか、正則性を示す条件は何か？
• RQ5 Bessel過程などの特定の拡散過程において、爆発時刻分布の明示的表現をどのように導出できるか？

主な発見

• 尾確率 $\mathbb{P}_\xi(S > t)$ は、拡散過程の生成作用素に関連する放物型コーシー問題の最小非負解である。
• 爆発時刻分布はPDEの最小解によって完全に特徴づけられ、爆発挙動を研究するための新しい解析的ツールが得られる。
• 爆発時刻分布のラプラス変換はスケール関数における常微分方程式を満たし、代替的な解析的取り扱いが可能になる。
• Fellerの爆発基準は、PDEの最小解に関する条件として再解釈され、古典的なスケール関数条件の代わりにPDEに基づく代替条件が得られる。
• 次元 $\delta \in (0,2)$ のBessel過程に対して、開発されたPDEおよび局所 martingale 手法を用いて爆発時刻分布の明示的表現を導出している。
• Besselブリッジの爆発時刻分布は、時間変換された Browmian 動機の表現を活用し、定常ドリフト付き Browmian 動機の最初の通過時刻で表現可能であることが示されている。