[論文レビュー] Rota-Baxter operators on BiHom-associative algebras and related structures

Ling Liu, Abdenacer Makhlouf+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、BiHom-結合的代数上のRota-Baxter作用素を導入し、それに関連する構造、例えばBiHom-dendriform、BiHom-Zinbiel、およびBiHom-quadri代数の理論を展開する。作用素Rが構造写像$\alpha$および$\beta$と可換である場合、新たな積$a*b = R(a)\cdot b + a\cdot R(b) + \lambda a\cdot b$がBiHom-結合的代数を定義することを確立し、圏論的枠組みを提示するとともに、自由Rota-Baxter BiHom-結合的代数を構成する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study Rota-Baxter operators for BiHom-associative algebras. Moreover, we introduce and discuss the properties of the notions of BiHom-(tri)dendriform algebra, BiHom-Zinbiel algebra and BiHom-quadri-algebra. We construct the free Rota-Baxter BiHom-associative algebra and present some observations about categories and functors related to Rota-Baxter structures.

研究の動機と目的

• BiHom-結合的代数上のRota-Baxter作用素を研究し、古典的Rota-Baxter理論をBiHom設定に一般化すること。
• Rota-Baxter作用素の自然な同伴者として、BiHom-(tri)dendriform、BiHom-Zinbiel、およびBiHom-quadri代数などの新しい代数的構造を定義し、それらを調査すること。
• Rota-Baxter作用素が構造写像$\alpha$および$\beta$と可換である場合に、Rota-Baxter構成がBiHom-結合的構造を保存する十分条件を確立すること。
• 自由Rota-Baxter BiHom-結合的代数を構成し、その圏論的性質を調査すること。

提案手法

• BiHom-結合的代数$(A, \cdot, \alpha, \beta)$における重み$\lambda$のRota-Baxter作用素の概念を導入し、任意の$x,y \in A$に対して$R(x)\cdot R(y) = R(R(x)\cdot y + x\cdot R(y) + \lambda x\cdot y)$を満たすことを要請する。
• 二つの構造写像$\alpha$および$\beta$を用いて、古典的dendriformおよびZinbiel代数の一般化として、BiHom-(tri)dendriform、BiHom-Zinbiel、およびBiHom-quadri代数を定義する。
• Yauのねじり構成を用いて、既存の代数から新しいBiHom代数を生成し、特定の整合性条件のもとで代数的構造を保存することを保証する。
• 弱いBiHom擬ねじり子を用いて、Rota-Baxter作用素とBiHom-結合的積の整合性を特徴づけ、新しい積に関して閉じていることを保証する。
• 普遍代数的技法を用いて自由Rota-Baxter BiHom-結合的代数を構成し、Rota-Baxter BiHom-結合的代数の圏における自由対象の普遍性を満たすことを示す。
• Rota-Baxter作用素と弱いBiHom擬ねじり子の関係を確立し、可換なRota-Baxter作用素が擬ねじり子の合成を通じて新しいBiHom-結合的代数を定義することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BiHom-結合的代数$(A, \cdot, \alpha, \beta)$上のRota-Baxter作用素$R$が、積$a*b = R(a)\cdot b + a\cdot R(b) + \lambda a\cdot b$によって新しいBiHom-結合的代数を定義するための条件は何か？
• RQ2 dendriform、Zinbiel、およびquadri代数の古典的概念を、BiHom設定に一般化してBiHom-(tri)dendriform、BiHom-Zinbiel、およびBiHom-quadri代数を構成するにはどうすればよいか？
• RQ3 自由Rota-Baxter BiHom-結合的代数の構造は何か？ また、Rota-Baxter代数の理論における函手と圏との関係は何か？
• RQ4 弱いBiHom擬ねじり子とRota-Baxter作用素の関係は何か？ また、それらは可換なRota-Baxter作用素から新しいBiHom-結合的代数を構成するために用いることができるか？

主な発見

• BiHom-結合的代数$(A, \cdot, \alpha, \beta)$上の重み$\lambda$のRota-Baxter作用素$R$が、構造写像$\alpha$および$\beta$と可換であるときかつそのときに限り、新たなBiHom-結合的代数$(A, *, \alpha, \beta)$が定義される。ここで、積は$a*b = R(a)\cdot b + a\cdot R(b) + \lambda a\cdot b$で与えられ、BiHom-結合的性質を満たすことが保証される。
• 本稿では自由Rota-Baxter BiHom-結合的代数を構成し、その普遍性を確立するとともに、このような代数のための圏論的枠組みを提供する。
• BiHom-(tri)dendriform、BiHom-Zinbiel、およびBiHom-quadri代数が導入され、Yauのねじり構成と随伴函手を用いてRota-Baxter作用素と密接に関係していることが示された。
• 可換なRota-Baxter作用素$R$および$P$によって誘導される二つの弱いBiHom擬ねじり子$T$および$D$の合成$T\circ D$は、新たな弱いBiHom擬ねじり子を定める。この合成は、積$a*b = R(P(a))\cdot b + R(a)\cdot P(b) + P(a)\cdot R(b) + a\cdot R(P(b))$に対応し、これがBiHom-結合的代数を定義する。
• 本稿では、重み0の二つのRota-Baxter作用素$R$および$P$が$\alpha$および$\beta$と可換であり、かつ互いに可換であるならば、積$a*b = R(P(a))\cdot b + R(a)\cdot P(b) + P(a)\cdot R(b) + a\cdot R(P(b))$がBiHom-結合的代数を定義することを証明した。
• 理論は、コンピュータ代数システムを用いて計算された明示的な例によって裏付けられており、低次元の場合の構成の実現可能性を示している。