[論文レビュー] Rotation-Strain Decomposition for the Incompressible Viscoelasticity in Two Dimensions

Zhen Lei|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、回転角方程式に依存せずに、ひずみ行列に対する新しい構造的恒等式を導入することにより、2次元非圧縮性粘弾性系の古典的解のグローバル存在および一意性を確立する。主な結果は、初期速度およびひずみの $H^2$ ノルムのみに小さな仮定を課すことによって、$L^∞$ で単位行列から大きく離れたひずみテンソルを許容するグローバル適切性定理の確立である。

ABSTRACT

In \cite{Lei}, the author derived an exact rotation-strain model in two dimensions for the motion of incompressible viscoelastic materials via the polar decomposition of the deformation tensor. Based on the rotation-strain model, the author constructed a family of large global classical solutions for the 2D incompressible viscoelasticity. To get such a global well-posedness result, the equation for the rotation angle was essential to explore the underlying weak dissipative structure of the whole viscoelastic system even though the momentum equation for the velocity field and the transport equation for the strain tensor have already formed a closed subsystem. In this paper, we revisit such a result without making use of the equation of the rotation angle. The proof relies on a new identity satisfied by the strain matrix. The smallness assumptions are only imposed on the $H^2$ norm of initial velocity field and the initial strain matrix, which implies that the deformation tensor is allowed being away from the equilibrium of 2 in the maximum norm.

研究の動機と目的

• 回転角方程式を用いずに、2次元非圧縮性粘弾性系のグローバル適切性を確立すること。
• ひずみ行列が満たす新しい構造的恒等式を同定し、それを用いて弱い散逸的メカニズムを回復すること。
• 小さな仮定を初期速度およびひずみの $H^2$ ノルムのみに緩和し、$L^∞$ ノルムで大きな変形を許容すること。
• 回転角ダイナミクスが明示的に使われない場合でも、弱い散逸的構造が維持されることを示すこと。
• 同じフレームワークを用いて一般のエネルギー関数 $W = W(F)$ へと結果を拡張すること。

提案手法

• ひずみ行列 $V$ に対して、$V$ の二重発散度の発散を用いて、新しい構造的恒等式を導出。$\nabla\cdot\nabla\cdot V$ を $\nabla\cdot(VV^T)$ および $\nabla\cdot V$ に結びつける。
• ホッジ分解およびベクトル解析の恒等式を用い、$\nabla V$ を $\nabla\cdot V$ および $\nabla\det V$ に関連づけ、$\|\nabla V\|_{H^1}$ の制御を可能にする。
• $L^2$ 内積および補間を用いて非線形項をバインドするため、速度およびひずみ方程式の閉じたサブシステムにエネルギー推定を適用する。
• $\|\nabla u\|_{L^2}^2$、$\|\nabla V\|_{L^2}^2$、$\|\Delta U\|_{L^2}^2$ のバインドを組み合わせることで、事前推定を確立。ここで $U = \nabla u$ である。
• $\|u_0\|_{H^2}^2 + \|V_0\|_{H^2}^2 < \epsilon_0$ の小さな性質に依存して、エネルギー推定を閉じ、非線形相互作用を制御する。
• 回転角方程式を明示的に使わない状況でも、弱い散逸的メカニズムがひずみ行列ダイナミクスを通じて保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非圧縮性粘弾性のグローバル古典的解は、回転角の進化方程式に依存せずに確立可能か？
• RQ2 回転角が使われない場合に、弱い散逸を回復できるひずみ行列の構造的恒等式は何か？
• RQ3 初期データに必要な小さな仮定は何か？ そして、それらはひずみテンソルの大きさとどのように関係するか？
• RQ4 $H^2$-ベースの小さな仮定は、$L^\infty$ ノルムにおけるひずみテンソルの許容可能な大きさにどのように影響するか？
• RQ5 弱い散逸的構造は、純粋にひずみおよび速度ダイナミクスから回復可能か？

主な発見

• ひずみ行列 $V$ に対して、$\|\nabla V\|_{H^1}$ が $\|\nabla\cdot V\|_{H^1}$ および $\|V\|_{H^2}$ を用いて制御可能である、新しい構造的恒等式が導出された。
• 初期速度およびひずみの $H^2$ ノルムのみに小さな仮定 $\|u_0\|_{H^2}^2 + \|V_0\|_{H^2}^2 < \epsilon_0$ を課すことにより、2次元非圧縮性粘弾性系のグローバル古典的解が存在する。
• ひずみテンソル $F$ は、$L^\infty$ ノルムで単位行列から最大2だけ離れることが可能である。すなわち、$\|F(t,\cdot) - I\|_{L^\infty} \leq 2$。
• $vorticity\,\omega_{12}(u)$ の $L^2$ ノルムが、$\theta$ を明示的に使わずともエネルギー推定によって制御される。
• 事前推定 $\sup_{t\geq 0}(\|u(t)\|_{H^2}^2 + \|V(t)\|_{H^2}^2) + \int_0^\infty (\|\nabla u\|_{H^2}^2 + \|\nabla V\|_{H^1}^2) dt \leq C(\|u_0\|_{H^2}^2 + \|V_0\|_{H^2}^2)$ が確立された。
• 同じ手法的フレームワークを用いて、周期的および有界領域へ、および一般エネルギー関数 $W = W(F)$ へと結果を拡張可能である。