[論文レビュー] Rough differential equations containing path-dependent bounded variation terms

Shigeki Aida|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、走行最大過程や反射項など、経路に依存する有界 variation 項を含む rough 微分方程式（RDE）の解の存在と a priori 評価を確立する。制御パスと有界 variation パスの積 Banach 空間における Schauder の不動点定理を用いて、標準的な Hölder 連続性条件の下で解の存在を証明し、解写像の連続性を導出し、解過程の位相的サポート定理の構築を可能にする。

ABSTRACT

We consider rough differential equations whose coefficients contain path-dependent bounded variation terms and prove the existence and a priori estimate of solutions. These equations include classical path-dependent SDEs containing running maximum processes and normal reflection terms. We apply these results to determine the topological support of the solution processes.

研究の動機と目的

• 経路に依存する有界 variation 項を含む rough 微分方程式（RDE）の解の存在と a priori 評価を確立すること。
• 古典的な反射 SDE や走行最大過程を含む SDE の結果を rough path の枠組みへと拡張すること。
• 一意性のもとで滑らかな rough path における解写像の連続性を証明し、位相的サポート定理の構築を可能にすること。
• 反射拡散過程や摂動 SDE の結果を、ドリフト項と経路に依存する項を含む rough path フレームワークへ一般化すること。

提案手法

• RDE を $ Z_t = \xi + \int_0^t \sigma(Z_s, A(Z)_s) \, d\mathbf{X}_s $ として定式化し、$ \mathbf{X} $ を $ 1/\beta $-rough path とし、$ A(Z)_t $ を経路に依存する有界 variation パスとする。
• 制御パス $ Z $ と有界 variation パス $ \Psi = A(Z) $ の積 Banach 空間における Schauder の不動点定理を適用し、$ \omega $ によって制御される Hölder および $ q $-variation ノルムを用いる。
• rough path $ \mathbf{X} $ の制御関数 $ \omega $ を用いて、関数空間 $ \mathcal{C}^{q\text{-var}, \theta} $ を定義し、有界 variation 成分を扱う。
• rough path の構造と $ \sigma \in \text{Lip}^{\gamma-1} $（$ \gamma > 1/\beta $）の正則性を活用して、a priori 評価を用いて滑らかな rough path における解写像の連続性を確立する。
• 反射および摂動 SDE を、反射およびドリフト項を関数 $ A $ に埋め込んだ経路に依存する RDE に変換し、主定理の適用を可能にする。
• Wong–Zakai 型近似と解写像の連続性を用いて、ブラウン運動 rough path に駆動される解過程のための位相的サポート定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路に依存する有界 variation 項を含む rough 微分方程式が解をもつための条件は何か？
• RQ2 解写像が滑らかな rough path において連続であることをどのように示し、サポート定理にどのような意味を持つのか？
• RQ3 古典的な反射 SDE や走行最大過程を含む SDE は、有界 variation 項を含む経路に依存する RDE の枠組みに埋め込めるか？
• RQ4 解が制御パスと有界 variation パスの和である場合、Gubinelli 衍導子の役割は何か？
• RQ5 ドリフト項を経路に依存する RDE に組み込む方法は何か？ その際、解の存在と連続性は保たれるか？

主な発見

• 本稿は、標準的な正則性条件（$ \sigma \in \text{Lip}^{\gamma-1} $ かつ $ \gamma > 1/\beta $）および関数 $ A $ に関する適切な仮定のもとで、有界 variation 項を含む経路に依存する RDE の解の存在を証明する。
• rough path の制御関数 $ \omega $ を用いて、制御パスと有界 variation パスの積 Banach 空間における解の a priori 評価を確立する。
• 一意性のもとで滑らかな rough path における解写像の連続性が証明され、これは位相的サポート定理の導出に不可欠である。
• ドメイン $ D \subset \mathbb{R}^n $ 上の反射 RDE に対しても、$ D $ に関する標準的仮定（A）および（B）と $ \sigma \in \text{Lip}^{\gamma-1} $ のもとで解の存在が証明され、以前の結果を一般化する。
• ドリフト項は修正された rough path の定式化により取り入れられ、$ b \in C^1_b $ のもとで解の存在と連続性が保証され、反射拡散過程のサポート定理が拡張される。
• Wong–Zakai 近似と解写像の連続性を用いて、ブラウン運動 rough path に駆動される解過程のための位相的サポート定理が確立される。