[論文レビュー] S^1-equivariant Morse cohomology

Marko Berghoff|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次元が3未塔の滑らかな閉じた $S^1$-多様体に対して、有限時間の $S^1$-軌道を組み込む「k-ジャンプ」フローラインを含むように標準的なモース複体を変形することにより、$S^1$-可換モースコhomologyを構成する。主な結果として、得られる可換モースコhomologyと通常の可換コhomologyとの間の同型が確立され、無限次元のホモトピー商構成の有限次元的代替が得られる。

ABSTRACT

We construct a deformed Morse complex computing the equivariant cohomology of a manifold M endowed with a smooth S^1-action. The deformation of the coboundary operator is given by counting gradient flow lines of a Morse function f that are allowed to "jump" along orbits of the S^1-action for finite time intervalls.

研究の動機と目的

• 無限次元のホモトピー商を避けるために、有限次元的なモース理論的手法による $S^1$-可換コhomologyの開発を目的とする。
• 『k-ジャンプ』フローラインを通じて $S^1$-対称性をコバウンダリー作用素に組み込むことにより、古典的モース理論を一般化することを目的とする。
• 次元が3未塔の閉じた $S^1$-多様体に対して、得られる $S^1$-可換モースコhomology が標準的可換コhomology と同型であることを証明することを目的とする。
• モジュライ空間のトランバーシャリティ、コンパクトネス、およびブレイクされたフローラインのグルーピングに関する基礎的問題を扱うことを目的とする。
• 非閉多様体や他のリー群への構成の拡張可能性を検討し、$\mathbb{Z}$-係数における可逆性の問題に対処することを目的とする。

提案手法

• $k$-ジャンプフローラインを用いて定義される、$S^1$-軌道に沿った有限時間のジャンプを許容する、可換モース複体を導入する。
• 臨界点 $x$ と $y$ 間の $k$-ジャンプフローラインのモジュライ空間 $\tilde{\mathcal{M}}_k(x,y)$ を定義し、ベクトル場の一般的摂動のもとでトランバーシャリティとコンパクトネスを確立する。
• 壊れたフローラインのグルーピング写像を構成し、微分の合成が消えることを証明する。すなわち、$d^2 = 0$ が成り立つ。
• 継続写像とコチェーンホモトピーを用いて、摂動データのホモトピーに対して不変であることを示し、準同型不変性を保証する。
• 継続原理を適用して、コホモロジーが摂動の選び方に依存しないことを証明し、したがって適切に定義されていることを示す。
• $BS^1 = \mathbb{CP}^\infty$ の構造と $S^1$-軌道が一意な軌道型を持つという事実に依存しており、これにより有限次元的モデルの構成が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元のホモトピー商を避けて、有限次元的なモース理論的複体を用いて $S^1$-可換コホモロジーを計算できるか？
• RQ2 標準的なモース微分をどのように変更すれば、有限時間の軌道ジャンプを通じて $S^1$-対称性を組み込めるか？
• RQ3 次元が3未塔の閉じた $S^1$-多様体に対して、得られる $S^1$-可換モースコホモロジーは標準的可換コホモロジーと同型か？
• RQ4 k-ジャンプフローラインのモジュライ空間に必要な幾何学的・解析的条件（トランバーシャリティ、コンパクトネス、グルーピング）は何か？
• RQ5 この構成を非閉多様体や $T^n$ のような他のリー群へ拡張できるか？

主な発見

• 次元が3未塔の滑らかな閉じた $S^1$-多様体に対して、$k$-ジャンプフローラインを用いて定義された $S^1$-可換モースコホモロジーは、標準的可換コホモロジー $H^*_{S^1}(M)$ と同型である。
• 可換モース複体上の微分 $d_{S^1}$ は $d_{S^1}^2 = 0$ を満たし、適切に定義されたコホモロジー理論であることが保証される。
• ベクトル場の一般的摂動のもとで、モジュライ空間 $\tilde{\mathcal{M}}_k(x,y)$ のトランバーシャリティとコンパクトネスが確立される。
• 壊れたフローラインのグルーピングは適切に定義され、微分と整合的であり、複体がチェーン複体であることを保証する。
• 異なる摂動間の継続写像はコチェーンホモトープであり、摂動データのホモトピーに対してコホモロジーが不変であることが証明される。
• この構成は、$BS^1 = \mathbb{CP}^\infty$ の構造と $S^1$-作用の唯一の軌道型に強く依存しており、他のリー群への直接的な一般化を制限する。