[論文レビュー] S-crucial and bicrucial permutations with respect to squares

Ian P. Gent, Sergey Kitaev+3 more|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|Feb 14, 2014

semigroups and automata theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Minionソルバを用いた制約プログラミングアプローチにより、二重十字型およびS-十字型順列に関する未解決の問題を解決した。偶数長の二重十字型順列が存在することを証明し、最小長は32である。また、$8k+3$長の二重十字型順列は $k=2,3$ の場合に存在するが $k=1$ の場合は存在しない。さらに、平方に関して最小のS-十字型順列は長さ17であり、このような順列に関する広範なデータを生成した。

ABSTRACT

A permutation is square-free if it does not contain two consecutive factors of length two or more that are order-isomorphic. A permutation is bicrucial with respect to squares if it is square-free but any extension of it to the right or to the left by any element gives a permutation that is not square-free. Bicrucial permutations with respect to squares were studied by Avgustinovich et al., who proved that there exist bicrucial permutations of lengths $8k+1, 8k+5, 8k+7$ for $k\ge 1$. It was left as open questions whether bicrucial permutations of even length, or such permutations of length $8k+3$ exist. In this paper, we provide an encoding of orderings which allows us, using the constraint solver Minion, to show that bicrucial permutations of even length exist, and the smallest such permutations are of length 32. To show that 32 is the minimum length in question, we establish a result on left-crucial (that is, not extendable to the left) square-free permutations which begin with three elements in monotone order. Also, we show that bicrucial permutations of length $8k+3$ exist for $k=2,3$ and they do not exist for $k=1$. Further, we generalise the notions of right-crucial, left-crucial, and bicrucial permutations studied in the literature in various contexts, by introducing the notion of $P$-crucial permutations that can be extended to the notion of $P$-crucial words. In S-crucial permutations, a particular case of $P$-crucial permutations, we deal with permutations that avoid prohibitions, but whose extensions in any position contain a prohibition. We show that S-crucial permutations exist with respect to squares, and minimal such permutations are of length 17. Finally, using our software, we generate much of relevant data showing, for example, that there are 162,190,472 bicrucial square-free permutations of length 19.

研究の動機と目的

• 偶数長の二重十字型順列および $k \geq 1$ の $8k+3$ 長の二重十字型順列の存在に関する未解決問題を解明すること。
• 平方に関してS-十字型順列の存在と最小長を確立すること。
• 右十字型、左十字型および二重十字型順列の概念を、禁止位置の集合 $P$ に対して一般化し、$P$-十字型順列として適用すること。
• 制約ベースの平方自由順列の列挙に適した、順序の新しい符号化法を開発・適用すること。
• Minion制約ソルバを用いて、二重十字型およびS-十字型順列に関する包括的なデータを生成すること。

提案手法

• 要素間の再ified二項不等式による順序同型を表現し、平方を検出する。
• SSAC前処理と dom/wdeg 検索ヒューリスティクスを用いた Minion 制約ソルバを用いて、効率を向上させた。
• 辞書式リーダー法による対称性削減を適用し、補数および反転対称性の下での解の数を数えた。
• 任意の拡張（左または右）が平方を導入しないように、十字型制約を定式化した。
• 解の補数および反転も同様の性質を満たすことを確認することで、結果の妥当性を検証した。
• 順序制約のシーケンスとして順列を表現するカスタム符号化を用い、平方検出および十字型チェックを効率的に行った。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数長の二重十字型順列は存在するか？ その場合、最小長は何か？
• RQ2 長さ $8k+3$ の二重十字型順列は $k \geq 1$ に対して存在するか？ その場合、どの $k$ の値に対して存在するか？
• RQ3 平方に関して最小長のS-十字型順列は何か？
• RQ4 禁止位置の集合 $P$ に対して、十字型順列の概念を一般化して $P$-十字型順列として適用できるか？
• RQ5 平方に関して、任意に長い二重十字型またはS-十字型順列は存在するか？

主な発見

• 偶数長の二重十字型順列が存在し、最小長は32である。
• $8k+3$ 長の二重十字型順列は $k=2$ および $k=3$ の場合に存在するが、$k=1$ の場合は存在しない。これは以前未解決であった問題を解決した。
• 平方に関して最小のS-十字型順列は長さ17であり、長さ21では少なくとも144,586個の対称的に異なるような順列が存在する。
• 長さ19の二重十字型平方自由順列は、制約ソルバを用いて162,190,472個であると計算された。
• SSAC前処理と dom/wdeg ヒューリスティクスを用いた制約プログラミングアプローチにより、探索空間が著しく削減され、$n=26$ まで問題を解くことが可能になった。これは従来の限界を超えた。
• 本研究は、S-十字型順列が長さ21を越えて存在することを確認した。また、任意に長いS-十字型順列が存在すると予想している。