[論文レビュー] Lectures on Supersymmetric Yang-Mills Theory and Integrable Systems

Eric D’Hoker, D. H. Phong|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、4次元N=2超対称Yang-Mills理論と力学的可積分系、特に楕円型Calogero-Moser系との間の深い対応関係を確立する。Seiberg-Witten汎関数および一般のゲージ群と随伴ハイパーマトリックスを有する系のスペクトル曲線が、ねじれおよびねじれなし楕円型Calogero-Moserモデルのスペクトルパラメータ付きLaxペアによって完全に決定されることを示し、超対称ゲージ理論における正確な解を統一的に扱う枠組みを提供する。

ABSTRACT

We present a series of four self-contained lectures on the following topics: (I) An introduction to 4-dimensional 1\leq N \leq 4 supersymmetric Yang-Mills theory, including particle and field contents, N=1 and N=2 superfield methods and the construction of general invariant Lagrangians; (II) A review of holomorphicity and duality in N=2 super-Yang-Mills, of Seiberg-Witten theory and its formulation in terms of Riemann surfaces; (III) An introduction to mechanical Hamiltonian integrable systems, such as the Toda and Calogero-Moser systems associated with general Lie algebras; a review of the recently constructed Lax pairs with spectral parameter for twisted and untwisted elliptic Calogero-Moser systems; (IV) A review of recent solutions of the Seiberg-Witten theory for general gauge algebra and adjoint hypermultiplet content in terms of the elliptic Calogero-Moser integrable systems.

研究の動機と目的

• N=2超対称Yang-Mills理論におけるSeiberg-Witten理論と可積分系との間の明確な数学的対応関係を確立すること。
• SU(2)を超える一般のゲージ群へのSeiberg-Witten理論の解法を一般化し、古典的および例外的代数を含む。
• 一般のリー代数に付随するねじれおよびねじれなし楕円型Calogero-Moser系のスペクトルパラメータ付きLaxペアを構成すること。
• ゲージ理論の低エネルギー有効汎関数およびスペクトル曲線が、これらの可積分系の代数的幾何的データに符号化されていることを示すこと。
• 可積分系の技法を用いて、汎関数の摂動的および非摂動的寄与を体系的に計算する方法を提供すること。

提案手法

• 拡張された超対称性を有するYang-Mills理論の一般超場形式を用いて、一般の超対称ラグランジアンを構成する。
• 正則性および非摂動定理を適用し、N=2理論における有効汎関数の形を制約する。
• 楕円曲のファイブレーションを用いてリーマン面（Seiberg-Witten曲線）を構成し、可積分系のスペクトル曲線と関連付ける。
• ワイエルシュトラスの楕円関数およびシータ関数を用いて、ねじれおよびねじれなし楕円型Calogero-Moser系のスペクトルパラメータ付きLaxペアを導出する。
• Lax行列のスペクトルデータ（固有値、モノドロミー）とSeiberg-Witten曲線の周期およびモジュライとの間の写像を確立する。
• 関数Φ(x,z)およびその変種（Φ₁, Φ₂, Λ）の基本微分方程式を用い、可積分性およびスペクトル曲線構造を符号化する代数的関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のゲージ群Gと随伴ハイパーマトリックスを有するN=2超対称Yang-Mills理論の低エネルギー有効作用は、どのように体系的に解けるか？
• RQ2 Seiberg-Wittenスペクトル曲線と可積分系のスペクトル曲線との間の明確な数学的対応関係は何か？
• RQ3 任意の古典的および例外的リー代数に付随する楕円型Calogero-Moser系に対して、スペクトルパラメータ付きLaxペアを構成できるか？
• RQ4 Seiberg-Witten曲線のモノドロミー性質および周期は、Lax行列の代数的構造からどのように導かれるか？
• RQ5 ワイエルシュトラス関数Φ(x,z)、Φ₁(x,z)、Φ₂(x,z)、およびΛ(2x,z)の役割は、系の可積分性およびスペクトルデータの符号化にどのように寄与するか？

主な発見

• 随伴ハイパーマトリックスを有するSU(N)ゲージ理論のSeiberg-Witten汎関数は、ねじれなし楕円型Calogero-Moser系のスペクトル曲線によって完全に決定される。
• 一般のゲージ群に対しては、Seiberg-Witten理論のスペクトル曲線が、対応するねじれまたはねじれなし楕円型Calogero-Moser系のスペクトル曲線と同型である。
• ねじれなし楕円型Calogero-Moser系のLaxペアは、関数Φ(x,z)およびその微分を用いて明示的に構成され、℘(x)および℘(y)を含む基本微分方程式を満たす。
• ねじれCalogero-Moser系は、関数f(z) = −e^{πiζ(z)+η₁z}を用いた変換によってねじれなし系と関連づけられ、モノドロミー行動が変更される。
• 可積分系のスペクトル曲線は、∑xα = 0を満たすΦ(xα,z)関数の積として与えられ、トーラス上の有理型関数として表され、Pn[℘(z);xα] + ℘′(z)Qn[℘(z);xα]の形に表現可能である。
• 7.3節の4つの基本定理は、ゲージ理論のデータ（汎関数、結合定数）と可積分系のデータ（Lax行列、スペクトル曲線、モノドロミー）との間の完全な辞書を確立する。